ZAHLEN  

Números

(Recop.) Justo Fernández López

 

Vgl.:

Mathematik / Frege, Gottlob / Abstraktion / Transzendental / Logizismus / Konstruktivismus / Intuitionismus / Mengenlehre / Formalismus / Universalien / Konzeptualismus / Logik / Formale Logik / Zeichen / Symbol

 

„Das Wesen des Rechnens haben wir beim Rechenlernen kennen gelernt.“

[Wittgenstein, Ludwig: „Über Gewissheit“. In: ders. Werkausgabe, Bd. 8. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1984, S. 129]

Zahl

Ursprünglich waren die Zahlwörter gegenstandsgebunden (Dutzend). Ein höherer Abstraktionsgrad wurde erst mit den arabischen Zahlen erreicht, weil sie nach dem dezimalen Stellenwert verwendet werden können. Da Zahlen von der Angabe individueller Qualitäten absehen, gehören sie zu den eigentlichen abstrakten Wörtern, im Gegensatz zu den Eigennamen, die konkret verweisen. Manche Sprachen kennen Paarmengenbildung (DUAL) und weitere Bündelungen (TRIAL). – Es gibt KARDINALIA (zwei), ORDINALIA (der zweite), ITERATIVA (zweimal), MULTIPLIKATIVA (zweifach), DISTRIBUTIVA (je zwei).” [Heupel, Carl, S. 269]

„In seinen Grundlagen der Arithmetik aus dem Jahr 1884 liefert Gottlob Frege  zunächst eine vernichtende Kritik der üblichen Antworten auf die Frage «Was sind Zahlen?» und «Welchen erkenntnismäßigen Status hat mathematische Wahrheit?». Seine Antwort beruht auf der Grundthese des Logizismus, dass die Mathematik eine Weiterentwicklung der Logik sei. Mit Hilfe der Alltagssprache beschreibt er die Prinzipien, die es erlauben, mathematische auf logische Begriffe zurückzuführen, wie sie in den Grundgesetzen der Arithmetik formalisiert werden. Die philosophische Argumentation F. führt jedoch weit über die Philosophie der Mathematik hinaus und fand nicht zuletzt bei Wittgenstein später in anderen Zusammenhängen wieder Aufnahme, so das kontextuelle Prinzip, demzufolge der Sinne eines Wortes immer aus dem Satzzusammenhang (Kontext) erklärt werden soll und nie isoliert betrachtet werden darf.”

[Hügli, A. / Lübcke, P. (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 194]

Zahlen und Zahlendarstellungen. Die natürlichen Zahlen   

Axiome von Peano (1891)  

(1) Die Null ist eine natürliche Zahl. 

(2) Jede natürliche Zahl besitzt genau einen unmittelbaren Nachfolger. 

(3) Jede natürliche Zahl ist unmittelbarer Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl. 

(4) Null ist kein unmittelbarer Nachfolger einer natürlichen Zahl. 

(5) Die Menge der natürlichen Zahlen ist bezüglich Inklusion die kleinste Menge,  die die Null und mit einer natürlichen Zahl auch deren unmittelbaren Nachfolger enthält.“

[Heidrun Köhler: http://www.math-inf.uni-greifswald.de/informatik/koehler/natzahlen.htm]

„El primer concepto [en Anaximandro] es el concepto de arché, principio. En cuanto de ese principio salen y nacen las cosas que componen el universo, ese principio es phýsis, precisamente la naturaleza. En segundo lugar, Anaximandro nos dice que ese arché es ápeiron. Esta palabra ha tenido muchas traducciones; de suyo es «indefinido» y en manos de la filosofía occidental a veces el ápeiron se ha entendido como un infinito, lo cual es un absurdo que no pasó nunca por la cabeza de Anaximandro. El principio es un ápeiron, un indefinido. [...] De este indefinido nos dice Anaximandro que nacen las cosas que son, las cosas que efectivamente son. Ahora bien, por contraposición a ese ápeiron, a ese indefinido aparece aquí una noción que va a jugar un papel en toda la filosofía griega: las cosas son péras, peperasménon, son algo determinado y delimitado. El griego no ha pensado nunca que el principio de la realidad y de las cosas consista en una referencia a algo que está allende ellas. Las cosas son en sí mismas tales como son, son para un griego precisamente péras, algo perfectamente limitado, frente a lo indefinido que es su arché, su principio. Más tarde los pitagóricos concibieron con más rigor estas delimitación: los números y las figuras constituyen para ellos «lo» delimitado”.

[Zubiri, Xavier: Los problemas fundamentales de la metafísica occidental. Madrid: Alianza Editorial, 1994, p. 42-43]

„Muchos pensadores griegos se ocuparon de dos problemas en relación con el concepto de número: el problema de la estructura de los números; el problema de la relación entre los números y la realidad. En algunos casos estos dos problemas se fundieron en uno solo. Es el caso de los pitagóricos. La conocida proposición de Filolao, según la cual todas las cosas poseen un número, ha sido entendida de diversas maneras. Una de ellas consiste en reconocer que al principio los pitagóricos concebían los números como elementos directamente representativos de la realidad o, mejor dicho, de las formas (geométricas) de la realidad. Así, había, a su entender, números sólidos (como los números cúbicos), números tetraédricos, etc. La base de esta concepción era la idea de que el número era análogo a una especie de unidad material cuya organización en el espacio daba lugar a una figura según la cantidad de puntos usados y la disposición dada a los mismos. Relacionada con la idea anterior se halla la concepción de que los cuerpos elementales están representados numéricamente. De todo ello podía llegarse fácilmente a otra idea, que constituye otra de las interpretaciones del pitagorismo: los números son la esencia de las cosas; una vez desnudadas éstas de todas sus cualidades accidentales podemos descubrir mediante la razón sus esenciales propiedades numéricas. A su vez, estas propiedades pueden combinarse; junto a la tabla pitagórica de las oposiciones y en correspondencia con ella, la reflexión sobre los números naturales produce resultados que los pitagóricos consideran punto menos que maravillosos. Así ocurre, por ejemplo, con la suma de los cuatro primeros números naturales, que da por resultado el número sagrado 10; o con 1, que no es propiamente un número, pero que engendra la pluralidad numérica. Consecuentemente desarrolladas estas ideas dieron origen a la aritmetología metafísica en que se complacieron muchos neopitagóricos y algunos neoplatónicos. Estas dos tendencias se basaron no solamente en las especulaciones de los pitagóricos, sino también en las de Platón, en la medida en que éste fue influido por las doctrinas de Pitágoras. En efecto, no solamente Platón usó los conceptos de unidad y de pluralidad en algunas partes de su doctrina de las ideas, sino que, además, parece haber llegado a una teoría de las ideas como ideas-números, por lo menos si nos atenemos a ciertos pasajes de Aristóteles. Estas ideas-números no son ya, sin embargo, los números en tanto que ideas, sino, como ha indicado W. D. Ross, el resultado de asignar números a las ideas, produciéndose así el concepto de idea monádica, idea diádica, etc.

Junto a las teorías pitagóricas, platónicas, neopitagóricas y neoplatónicas acerca de los números y de su relación con la realidad, la más influyente concepción del número en la edad antigua fue la de Aristóteles. Este autor está de acuerdo en no concebir la unidad como un número, «pues la unidad de medida no es una pluralidad de medidas, sino que la unidad de medida y lo uno son igualmente principios». El número es definido como la multitud de medida, y como la multitud (o multiplicidad) de las medidas. Esta concepción influyó entre los escolásticos. Fue retomada especialmente por Santo Tomás, el cual concibió el número como multitudo mensurata per unum. Este número es, empero, el numerus numeratus, el cual se distingue del numerus numerans, que es considerado abstractamente y que concierne a la enumeración. Los escolásticos, por lo demás, trataban siempre de distinguir diversos conceptos de número. Así, por ejemplo, Duns Escoto distinguía entre el número esencia, obtenido por división de la primera unidad divina, el número natural o formal, y el número accidental; este último es el propiamente matemático. En lo que toca al número como objeto de la matemática, las ideas de los escolásticos no diferían, por lo demás, grandemente, de la clásica definición de número que encontramos en Euclides y que puede parangonarse con la aristotélica.

Durante el Renacimiento imperó en muchas mentes la simbología numérica de carácter platónico-pitagórico. Esta simbología no fue, empero, totalmente infecunda; cuando menos, dio alas a la idea de que la realidad puede ser representada matemáticamente y, por consiguiente, insufló los ideales de panmatematización de lo real en que han sido pródigos el pensamiento y la ciencia modernos. Ahora bien, los filósofos modernos propiamente dichos se interesaron más por la epistemología que por la ontología del número. Se discutieron así sobre todo las cuestiones acerca de la formación del concepto de número. Dos opiniones extremas se contrapusieron: la de quienes estimaban que el concepto de número se obtenía empíricamente, por abstracción de las cosas particulares, y la de quienes consideraban que el concepto de número era enteramente apriórico. Ahora bien, las reflexiones epistemológicas implicaban con frecuencia supuestos ontológicos. Así, los empiristas suponían muchas veces que el número carece de toda realidad extramental; los racionalistas aprioristas, que tiene alguna forma de realidad – aunque sea la realidad ideal. Es difícil, sin embargo, encontrar representantes puros de cualquiera de las dos tendencias; aunque el más extremado de los empiristas, como John Stuart Mill, roza a veces posiciones conceptualistas. Lo mismo sucede en autores como Locke, el cual estima que el número es una representación simple y que, aunque pertenece a las cualidades primarias, está tejido con las nociones proporcionadas por la representación. Un claro intento de mediación se halla en Kant y en los neokantianos. Según Kant, el número es el esquema puro de la cantidad, es decir, «la unidad de la síntesis de lo diverso de una intuición homogénea en general, al introducir yo el tiempo mismo en la aprehensión de la intuición». El concepto de número queda colocado de este modo en el plano trascendental, y en algunos autores influidos por Kant llega a convertirse en una categoría.

Los problemas epistemológicos no han sido abandonados en época más reciente, pero el antiguo problema de la «forma de realidad» del número se ha colocado de nuevo en primer plano. Dos grandes contribuciones pueden mencionarse al respecto. Una de ellas es la fenomenología de Husserl y su teoría de la objetividad ideal. Otra – más influyente entre los matemáticos – es la investigación lógica realizada en la línea de Frege-Peano-Russell y autores más recientes. [...]

El intento de fundamentación lógica del concepto de número se halla ya en Dedekind cuando escribe que «si examinamos exactamente lo que hacemos cuando contamos un grupo o colección de cosas, nos vemos conducidos a considerar el poder del espíritu para relacionar una cosa con otra, para hacer que una cosa corresponda a otra, que una copia a la otra, como una capacidad general sin la cual el pensamiento es imposible. Sobre esta base única, pero completamente inevitable, debe erigirse toda la ciencia del número». La operación de correlación surge asimismo en la teoría cantoriana de los conjuntos. Pero se halla sólo claramente en Frege (1884) y (descubierta con independencia de éste) en Russell (1901). Usaremos aquí de preferencia las formulaciones de este autor. Según Russell el número resulta en principio del modo de agrupar ciertas clases. Así, por ejemplo, todas las clases compuestas de cuatro miembros son agrupadas bajo el número 4. Pero como no puede presuponerse que se cuenten las clases sin saber del número, es emjor establecer si dos clases, A y B, tienen el mismo número de miembros. Se estable esto mediante la correlación uno a uno de cada miembro de una clase con cada miembro de otra clase similar. Dos clases finitas tienen el mismo número de miembros si son similares, es decir, si hay entre los miembros de cada clase una relación biunívoca. Por ejemplo, 0 es el número de las clases que no tienen ningún miembro (clase nula); 1 es el número de las clases que tienen un solo miembro; 2, de las clases que tienen 2 miembros, y así sucesivamente. En general, el número de una clase es la clase de todas las clases similares a la misma. O, si se quiere, el número es «algo que es el número de alguna clase». Esta definición parece circular pero no lo es; en efecto, puede definirse ‘número de una clase’ sin usar de la noción de número en general. No se parte, pues, del número para «aplicarlo» a una colección, sino de la correlación uno a uno en dos colecciones similares para extraer el correspondiente número. De este modo los números y las operaciones con los mismos pueden ser expresados simbólicamente. Suelen usarse a tal efecto las notaciones proporcionadas por la lógica de clases, por la lógica cuantificacional y por la lógica de identidad. Pueden introducirse abreviaturas de estas complicadas notaciones, pero siempre resultará que los números serán definidos en términos de clases. Así, se consigue a la vez una fundamentación y una aclaración lógica de la idea de número. Por otro lado, la lógica proporciona los elementos necesarios para la construcción de los sistemas numéricos (lo que hoy se considera más importante en la teoría del número).

Importante es al respecto la contribución de Peano, cuyo sistema contiene cinco postulados, a saber:

1.      0 es un número;

2.      El sucesor de cualquier número dado es un número;

3.      No hay dos números que tengan el mismo sucesor;

4.      0 no es el sucesor de ningún número;

5.      Cualquier propiedad que pertenezca a 0, y también al sucesor de cualquier número que posee tal propiedad, pertenece a todos los números [o principio de inducción matemática];

y tres ideas primitivas, es decir (1) 0; (2) número y (3) sucesor, las cuales son independientes de los postulados. El sistema de Peano se refiere a los números naturales. Se han propuesto asimismo postulados para otros sistemas numéricos. No podemos detenernos aquí en una discusión de naturaleza harto técnica. Digamos sólo que es común a todos estos esfuerzos el intento de edificar por medio de elementos lógicos la teoría numérica y que ello constituye uno de los más importantes empeños de la lógica matemática contemporánea.

Los sistemas numéricos que se introducen en la matemática y que son fundamentados lógicamente por medio de una serie dada de postulados son los siguientes:

I.                              El sistema de los números naturales, llamado también a veces de los enteros positivos: 0, 1, 2, 3, 4 ... n.

II.                           El sistema de los números enteros, que incluye los positivos y los negativos: -n...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...n.

III.                       El sistema de los números racionales, que comprende los enteros negativos y positivos y las fracciones.

IV.                         El sistema de los números reales, que comprende los anteriores y, además, los números irracionales, tales como  .

La serie (III) es llamada compacta; la serie (IV), continua.

V.                            El sistema de los números complejos, en el cual se introducen nuevos símbolos indefinidos. Una clase importante de números complejos son los números imaginarios, de los que suele darse como ejemplo .

Las posiciones todavía discutidas respecto al problema del número son sensiblemente las mismas que hay en la filosofía de la matemática. En efecto, es posible defender una posición formalista, una logicista y una intuicionista. La adopción de una de las posiciones es importante no solamente por las diferentes interpretaciones que tenemos en cada caso acerca del concepto de número, sino también por las modificaciones que introducen en la presentación de los diferentes sistemas numéricos. Estas posiciones pueden ser llamadas (latamente) ontológicas. A ellas se agregan las posiciones predominantemente epistemológicas; entre estas últimas destacaremos la radicalmente empirista, la apriorista y la conceptualista. Es común que los dos tipos de posiciones se combinen. Es también frecuente que se adopten posiciones intermedias o bien que se elijan algunas de ellas a modo de necesaria convención.”

[Ferrater Mora, J.: Diccionario de filosofía. Buenos Aires: Ed. Sudamericana, 51969, Vol. 2, pp. 305-307]