WIDERSPRUCHSFREIHEIT

Consistencia

(Recop.) Justo Fernández López

 

Vgl.:

Vollständigkeit  / Gödel-Satz

 

Widerspruchsfreiheit

Widerspruchsfreiheit im Sinne des Wortes besteht dann, wenn in der gegebenen Menge von Aussagen ,,kein Widerspruch steckt“, d.h. aus ihr kein Widerspruch bewiesen bzw. gefolgert werden kann. Für den Aussagenkalkül wird dies durch HILBERTs Definition der klassischen Widerspruchsfreiheit (bzgl.  des Ableitens) gefasst.

Man kann schärfer die semantische Widerspruchsfreiheit mit der Forderung definieren, dass alles was beweisbar ist, auch wahr ist oder schwächer, dass nicht alles beweisbar sein darf (syntaktische Widerspruchsfreiheit).“

[Prof. Peter H. Starke und Stephan Roch. In:

http://www.informatik.hu-berlin.de/lehrstuehle/automaten/logik/node2.html]

Consistencia

‘Consistencia’ puede emplearse en tres distintos contextos.

(1) En expresiones tales como ‘prueba de consistencia’ por medio de la cual se prueba si un cálculo dado es o no consistente.

(2) En expresiones metafísicas en las cuales se describe la completa subsistencia de una realidad y se describe tal subsistencia en términos de “real consistencia”. Desde este punto de vista suele decirse que solamente realidades tales como lo Absoluto y lo Incondicionado son verdaderamente consistentes.

(3)  En expresiones – usualmente metafísicas – en las cuales la consistencia es equiparada a la esencia, por declararse que la esencia de algo es aquello en qu este algo “consiste”. La consistencia se contrapone en tal caso a la existencia.

Consistente

El vocablo ‘consistente’ designa uno de los conceptos fundamentales usados en metalógica. Se llama consistente a un cálculo C cuando, dada una fórmula bien formada, f, de C, no es el caso que f y la negación de f (~f) sean a la vez teoremas de C. Se llama también consistente a un cálculo C cuando hay por lo menos una fórmula bien formada de C que no es un teorema de C. Las dos anteriores definiciones corresponden a dos tipos de consistencia y son aplicadas, según los casos, a diversas clases de cálculos.

El concepto de consistencia es un concepto sintáctico. Ello no significa que se prescinda en su formulación y desarrollo de toda consideración semántica. Tal consideración es especialmente obvia cuando se trata de cálculos cuyas fórmulas, al ser interpretadas, se convierten en enunciados y pueden ser declaradas, por lo tanto, verdaderas o falsas. Puede decirse entonces que un cálculo C es consistente cuando no hay en C ninguna fórmula que, una vez interpretada, sea un enunciado falso. Se comprenderá, pues, que para que haya consistencia en la relación entre dos enunciados es menester que la conjunción de estos enunciados no sea contradictoria.

Dentro de la metalógica ha suscitado varias discusiones la llamada prueba de consistencia, elaborada por varios autores de acuerdo con la Beweistheorie, de David Hilbert. […]

Se ha debatido si la prueba de consistencia puede o no ser dada en el mismo lenguaje del cálculo al cual se aplica. Hoy se admite, de acuerdo con los resultados de Gödel, que la prueba de consistencia para cualquier lenguaje tiene que darse en un metalenguaje que posea medios lógicos más ricos que el citado lenguaje. El teorema de Gödel afirma al respecto en substancia que una prueba de consistencia para un sistema logístico cualquiera no puede ser formalizada dentro de tal sistema.

Finalmente, se ha suscitado la cuestión de la relación entre los conceptos de consistencia y de completitud.”

[Ferrater Mora, José: Diccionario de filosofía. Buenos Aires: Editorial Sudamericana, 1969, vol. 1, p. 345-346]