SPRACHE ALS KALKÜL

El lenguaje como cálculo

(Recop.) Justo Fernández López

 

Vgl.:

Kalkül / Algorithmus / Automat(entheorie) / Formale Sprachen / Formale Systeme / Turing Maschine / Axiom / Generative Transformationsgrammatik

 

„Denn bedenke, dass wir im allgemeinen die Sprache nicht nach strengen Regeln gebrauchen – man hat sie uns auch nicht nach strengen Regeln gelehrt. Andererseits vergleichen wir in unsern Diskussionen die Sprache beständig mit einem Kalkül, der sich nach exakten Regeln vollzieht.

Dies ist eine sehr einseitige Betrachtungsweise. In der Praxis gebrauchen wir die Sprache sehr selten als einen derartigen Kalkül. Nicht nur, dass wir nicht an Regeln des Gebrauchs – an  Definitionen etc. – denken, wenn wir die Sprache gebrauchen; in den meisten Fällen sind wir nicht einmal fähig, derartige Regeln anzugeben, wenn wir danach gefragt werden. Wir sind unfähig, die Begriffe, die wir gebrauchen, klar zu umschreiben; nicht, weil wir ihre wirkliche Definition nicht wissen, sondern weil sie keine wirkliche »Definition« haben. Die Annahme, dass sie eine solche Definition haben müssen, wäre wie die Annahme, dass ballspielende Kinder grundsätzlich nach strengen Regeln spielen.

Was wir im Sinn haben, wenn wir von der Sprache als einem Symbolsystem in einem exakten Kalkül sprechen, können wir in den Naturwissenschaften und in der Mathematik finden. Unser gewöhnlicher Sprachgebrauch entspricht diesem Standard der Exaktheit nur in seltenen Fällen.“

[Kenny, A.: Ludwig Wittgenstein. Ein Reader. Stuttgart: Reclam, 1989, S. 145-146]

Satz, Axiome, Regeln

Solche durch Regeln herstellbare Kennten nenn man Sätze. Der Ausdruck «Satz» hat natürlich im mathematischen Sprachgebrauch eine Bedeutung, die ganz anders ist als die unsrige. Er bedeutet eine Aussage in gewöhnlicher Sprache, die durch rigorose Beweisführung als wahr erkannt worden ist, wie Zenos Satz von der «Unexistenz» der Bewegung oder Euklids Satz von der Unendlichkeit der Primzahlen. In einem formalen System aber brauch man Sätze nicht als Aussagen zu betrachten – sie sind lediglich Symbolketten. Und sie werden nicht bewiesen, sondern einfach wie von einer Maschine nach gewissen typographischen Regeln erzeugt. Um diese wichtige Unterscheidung in der Bedeutung des Wortes «Satz» zu betonen, gehe ich in diesem Buch wie folgt vor: wenn «Satz» in normalen Buchstaben wiedergegeben wird, hat das Wort seine alltägliche Bedeutung – ein Satz ist eine Aussage in der gewöhnlichen Sprache, die jemand einmal durch logische Argumentation als wahr bewiesen hat. Wenn in Großbuchstaben, soll «SATZ» seine technische Bedeutung haben: eine in einem formalen System erzeugbaren Kette. [...]

Ich gab Ihnen einen SATZ zu Beginn vor, nämlich MI. Ein solcher SATZ, den man «umsonst» erhält, heißt Axiom – und wiederum ist die technische Bedeutung von der gängigen völlig verschieden. Ein formales System kann kein, ein, mehrere, ja sogar unendlich viele Axiome besitzen.

Jedes formale System hat Regeln für das Rangieren von Symbolen wie etwa die vier Regeln des MIU-Systems. Diese Regeln nennt man entweder Erzeugungs-Regeln oder Schluss-Regeln. Ich werde beide Ausdrücke benützen.

Der letzte Begriff, den ich hier einführen will, ist der der Ableitung. Ich gebe hier eine Ableitung des SATZES MUIIO:

 

1) MI

Axiom

2) MII

aus 1) durch Regel II

3) MIIII

aus 2) durch Regel II

4) MIIIIU

aus 3) durch Regel I

5) MUIU

aus 4) durch Regel III

6) MUIUUIU

aus 5) durch Regel II

7) MUIIU

aus 6) durch Regel IV

 

Einen SATZ ableiten bedeutet, explizit schrittweise zu zeigen, wie man den SATZ nach den Regeln des formalen Systems erzeugen kann. Der Begriff der Ableitung ist dem des Beweises nachgebildet, aber eine Ableitung ist eine strengere Verwandte des Beweises. Es würde seltsam klingen, zu sagen, dass man MUIIU bewiesen hat, aber es kingt weniger seltsam, zu sagen, dass man MUIIU abgeleitet hat.”

[Hofstadter, Douglas R.: Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band. Stuttgart: Klett-Cotta, 1986,  S. 39‑40]

“Es ist die Einheit von metaphorischem und begrifflichem Denken, die das «ganze» richtreduzierte Denken ausmacht, und es ist deplaciert, das metaphorische gegen das begriffliche Moment auszuspielen.

Die einzige wichtige Frage ist demgegenüber die: wenn alle Erkenntnisse über die Natur und die Menschen vermittelt sind, welche Modi gibt es dann, Differenzierungen einzuführen und «illegitime» Diskurse zu lokalisieren, die auf Kosten des Gegenstandes bzw. des Subjekts stattfinden?

Mathematische und logische Kalküle, vor denen gewisse Künstler und Denker deswegen einen Horror haben, weil sie nur eine reduzierte und triviale Form davon kennen, sind voll und ganz Momente des Symbolischen, mit denen man das Reale «trifft», wie der Bogenschütze das Ziel mit dem Pfeil erreicht; denn jenes Reale ist die sich immer verschiebende Grenze der äußeren und inneren Realität.

In der Literatur wussten die großen Schriftsteller, dass es um Wahrheit und nicht um «Erlebnisse» in ihrem rohen Zustand geht; Kafka und Proust («La vraie vie ç’est la littérature») sind Beispiele dafür.”

[Lipowatz, Thanos: Die Verleugnung des Politischen. Die Ethik des Symbolischen bei Jacques Lacan. Weinheim und Berlin: Quadriga Verlag, 1986, S. 29 und 47 Anm. 11]

«Lege einen Maßstab an diesen Körper an; er sagt nicht, daß der Körper so lang ist. Vielmehr ist er an sich – ich möcht sagen – tot, und leistet nichts von dem, was der Gedanke leistet. – Es ist, als hätten wir uns eingebildet, das Wesentliche am lebenden Menschen sei die äußere Gestalt, und hätten nun einen Holzblock von dieser Gestalt hergestellt und sähen mit Beschämung den toten Klotz, der auch keine Ähnlichkeit mit einem Lebewesen hat.»

[Wittgenstein, Ludwig: Philosophische Untersuchungen. § 430]

Der Kalkülbegriff

Unter einem Kalkül verstehen wir ein formales System, sprich ein mathematisches Modell, in dem wir rechnen können. Als mathematisches Modell ist ein Kalkül gegeben durch ein Alphabet und eine Sprache über diesem Alphabet, sowie einem Deduktionsoperator (einer Rechenoperation). Bei Logikkalkülen hebt man die Menge der Theoreme (die wahren bzw. beweisbaren) Aussagen hervor.

Man unterscheidet:

Kalkül mit semantisch definierter Satzmenge.

ag = Menge der in der klassischen logischen Matrix gültigen Ausdrücke  .

Kalkül mit syntaktisch definierter Satzmenge.

  Menge aller mittels rein syntaktischer Unformungsoperationen aus einer endlichen Menge von Ausdrücken zu gewinnender Ausdrücke.“

[© 1995-2000 Prof. Peter H. Starke und Stephan Roch. In:

http://www.informatik.hu-berlin.de/lehrstuehle/automaten/logik/node15.html]

Syntax und Semantik des Aussagenkalküls

Ein Kalkül  ist gegeben durch sein Alphabet (hier X), die Menge (Sprache) der in diesem Kalkül sinnvollen Wörter über diesem Alphabet und seine Semantik, d.h. eine Zuordnung von Bedeutungen zu den Wörtern seiner Sprache.

Bei Logikkalkülen besteht die Angabe der Semantik aus der Menge S der (gültigen) Sätze und einem Deduktionsoperator.“

[© 1995-2000 Prof. Peter H. Starke und Stephan Roch. In:

http://www.informatik.hu-berlin.de/lehrstuehle/automaten/logik/node13.html]

Kalküle

Der in der Logik definierte semantische Folgerungsbegriff hilft meist nicht, für gegebene  und algorithmisch zu bestimmen, ob  wirklich aus  folgt. Dies ist Gegenstand eines geeigneten Kalküls.

Ein Kalkül definiert syntaktische Ableitungen aus Manipulationen der Formeln. Damit kann aus einer Formel  durch reine Symbolmanipulation eine Formel  gewonnen werden, wobei die Bedeutung der in  und  vorkommenden Symbole überhaupt keine Rolle spielt. Ein syntaktisch aus  abgeleitetes  soll aber trotzdem semantisch folgen und umgekehrt.  Ein korrekter Kalkül stellt daher nur solche Ableitungsoperationen zur Verfügung, die garantieren, dass alles syntaktisch Ableitbare auch semantisch folgt. Wenn umgekehrt alles, was semantisch folgt, auch syntaktisch ableitbar ist, heißt der Kalkül vollständig.

Ein Kalkül heißt entscheidbar, wenn es einen abbrechenden Algorithmus gibt, mit dessen Hilfe man für jede Formel effektiv feststellen kann, ob es im Kalkül ableitbar ist oder nicht. Einen solchen Algorithmus nennt man ein Entscheidungsverfahren. Man kann zeigen, dass es für PL1 kein entscheidbares Kalkül gibt.

Resolution ist allerdings semi-entscheidbar, d.h. man kann beim Resolutionskalkül effektiv feststellen, ob eine Formel (hier interessiert uns nur eine bestimmte Formel, nämlich, die Kontradiktion) ableitbar ist, vorausgesetzt, dass die Formel tatsächlich ableitbar ist, bei nicht ableitbaren Formeln läuft der Resolutionsverfahren in die Endlosschleife. Dies ist zwar ärgerlich, aber trotzdem in Praxis meistens kein großes Hindernis.

Ein weiteres Problem im Bereich der Kalküle ist die Frage nach der Effizienz eines Kalküls. Dabei betrachtet man meist zwei Effizienzkriterien, die Verzweigungsrate im Suchraum und die Länge der Beweise. Die Regeln eines Kalküls sind im allgemeinen an vielen Stellen einer Formelmenge anwendbar. Nicht alles, was damit abgeleitet wird, ist jedoch für den gesuchten Beweis brauchbar.

Daher definieren die Regeln eines Kalküls einen Suchraum, der durch irgendein Suchverfahren abgesucht werden muss. Je größer die Verzweigungsrate, d.h. je mehr Stellen es in der aktuellen Formelmenge gibt, auf die die Kalkülregeln anwendbar sind, desto aufwendiger ist meist die Suche.

Die Verzweigungsrate ist jedoch kein generelles Kriterium. Ist die Verzweigungsrate niedrig, liegt aber dafür der gesuchte Beweis sehr tief im Suchraum, dann ist auch nicht viel gewonnen. Was man

braucht, ist einerseits eine möglichst kleine Verzweigungsrate, und andererseits Kalkülregeln, die einen Beweis mit möglichst wenig Schritten finden, und diese Schritte sollen mit möglichst wenig Aufwand berechenbar sein. Die Kunst des Kalkülbaus besteht darin, solche Kalküle zu entwickeln, die einen guten Kompromiss zwischen allen drei Faktoren bilden.

Für PL1 gibt es eine ganze Reihe unterschiedlicher Kalküle. Der Kalkül, der heute am wichtigsten und bisher am erfolgreichsten ist, ist der Resolutionskalkül. Er wurde 1963 von John Alan Robinson entwickelt und ist wohl der am meisten verbreitete Kalkül für Prädikatenlogik. Er arbeitet in erster Linie auf Klauseln. Es gibt auch Möglichkeiten, direkt auf Formelebene zu arbeiten, aber das war bisher nicht sehr erfolgreich.“

[Goran Mekinic. In: http://www.buva.sowi.uni-bamberg.de/lehre/logik/skript.logik/node11.html]

Kalkül

http://inf2-www.informatik.unibw-muenchen.de/People/borghoff/slides/info1/sld045.htm

Chomsky-Grammatiken

http://inf2-www.informatik.unibw-muenchen.de/People/borghoff/slides/info1/sld046.htm

Grammatiken und Produktionen

http://inf2-www.informatik.unibw-muenchen.de/People/borghoff/slides/info1/sld047.htm

La noción de cálculo

«Podemos considerar nuestro lenguaje como una ciudad antigua: un laberinto de pequeñas calles y plazas, de casas viejas y nuevas, y de casas con añadidos que datan de épocas distintas; y todo esto rodeado de una multitud de barrios nuevos con calles rectas regularmente trazadas y casas uniformes» (Wittgenstein: Philosophische Untersuchungen, núm. 18). Un poco antes, en este mismo párrafo, ha dicho Wittgenstein que el simbolismo de la química o la notación del cálculo infinitesimal, por ejemplo, son «suburbios de nuestro lenguaje».

La distinción entre lenguajes naturales y lenguajes artificiales es a primera vista muy clara. Los lenguajes naturales los heredamos. Los lenguajes artificiales los construimos. Los lenguajes naturales son las lenguas, creadas y recreadas constantemente por la especie en el transcurso de muchos siglos y transmitidas a cada individuo en el transcurso de pocos años. Los lenguajes naturales son los que hablamos todos los días, esos complejos instrumentos de comunicación que sólo las gramáticas generativas parecen hoy capaces de describir de modo relativamente adecuado, esos lenguajes que, dicho de manera rudimentaria, se componen en el fondo, de un léxico – finito – y de un conjunto de reglas que permiten combinar hasta el infinito los elementos de ese léxico. Los lenguajes son, según diría Wittgenstein, «una forma de vida». Hablar es parte de nuestra historia natural como pasear, como beber o como jugar (Wittgenstein, PU, núms. 19, 25). Por eso, por ser tan natural e inevitable, por constituir un componente tan profundo de nuestro comportamiento, por esa razón es el lenguaje tan huidizo, tan difícil de comprender, de aislar, de cercar científicamente.

Pero en rigor – y la metáfora de Wittgenstein apunta verosímilmente a este hecho – los lenguajes naturales han sido también construidos. Sólo que construimos a ritmo lento, a lo largo de la secular relación del hombre con su medio: su riqueza, su ambigüedad, su infinitud de matices no son sino el reflejo de la riqueza de esa relación. Y un producto de esa relación – un resultado de la necesidad de controlar científicamente el medio – son también los lenguajes artificiales. Lo que laxamente estamos llamando ‘lenguajes artificiales’ son por lo general lenguajes de precisión, medios artificiosos de expresión construidos por los científicos a fin de poder formular con mayor justeza las relaciones entre los objetos estudiados por sus ciencias respectivas. Hablar, como hemos visto, es esencialmente recrear el lenguaje. La explotación de esta posibilidad de recreación constante que el lenguaje ofrece se manifiesta de una manera pura y premeditada en la tarea de los constructores de lenguajes con fines científicos. Y también, en un plano distinto, en la de los artistas del lenguaje, los escritores. Si, como dicen los lingüistas, «la información aportada por una unidad lingüística es la inversa de la probabilidad de aparición de esta unidad en el discurso»; si, por tanto, la información que un hablante es capaz de proporcionarnos está en función de su pericia en el empleo de palabras o construcciones inesperadas, diremos que nos informa menos quien nos hace saber, por ejemplo, que la hulla es negra que quien, como Pablo Neruda, nos comunica que la hulla es «el total reverso de la nieve». El escritor, el verdadero escritor, es como un oportunista del lenguaje, siempre al acecho de los caminos de libertad que el lenguaje ofrece.

Los constructores de lenguajes artificiales no hacen sino encauzar, dirigir, prolongar el lenguaje en beneficio de las distintas ciencias, orientando sistemáticamente en un determinado sentido las posibilidades de expansión continua que el lenguaje lleva en su seno como su rasgo más peculiar y profundo.

Nos preguntábamos antes: ¿a qué llamamos un cálculo?

Los cálculos son, naturalmente, artificiales. Los cálculos no son, propiamente, lenguajes. Un cálculo es una pura estructura, un sistema de relaciones. Un cálculo se compone de lo siguiente:

1.     Un conjunto de elementos primitivos, llamados a menudo «símbolos elementales». Es absolutamente esencial señalar que este conjunto de símbolos primitivos ha de estar definido de un modo efectivo. Un conjunto está definido de manera efectiva cuando podemos decidir, ante un objeto cualquiera, si ese objeto es no es miembro del conjunto en cuestión. Por ejemplo, el conjunto de los librepensadores que habitan en nuestra Submeseta Sur no es un conjunto definido de una manera efectiva: hay muchos casos que plantearían serias dudas. [...]

2.     Un conjunto de reglas - «reglas de formación» o «de construcción» - que establecen cuáles son las combinaciones correctas posibles de esos símbolos elementales. El conjunto de las reglas de formación ha ce proporcionar una definición efectiva de la noción de ‘expresión bien construida del cálculo’, de tal modo que sea posible, ante cualquier combinación de símbolos, decidir si es o no una fórmula bien formada. En los lenguajes naturales hay también reglas de formación que permiten combinar los elementos del vocabulario para componer con ellos oraciones. Lo que ocurre es que en los lenguajes naturales esas reglas no están formuladas: el hablante de una lengua las aplica implícitamente, y sólo se hacen explícitas – sistemáticamente – cuando se elabora la gramática de esa lengua, o bien – ocasionalmente – cuando alguna construcción le resulta «extraña» al hablante y le incita a preguntarse por las reglas que le permitirían calificarla de correcta o incorrecta. [...] Las reglas de formación de oraciones en los lenguajes naturales, sobre estar implícitas, son defectivas – y no efectivas –, en el sentido de que permiten la entrada de expresiones que ningún hablante aceptaría como ejemplos de uso natural del lenguaje y que, sin embargo, están correctamente construidas. Por otra parte, la transgresión de las reglas de los lenguajes naturales tiene – estéticamente, por ejemplo – perfecto sentido. Así, Chomsky habla del «estudio de la desviación de las reglas como medio estilístico».

3.      Un conjunto de «reglas de transformación». Aplicándolas, podemos transformar una combinación bien construida de símbolos en otra combinación que resultará igualmente bien construida. Como los conceptos de símbolo primitivo y de fórmula o expresión bien formada, el concepto de transformación ha de quedar definido de una manera efectiva, en el sentido de que ha de ser posible en todos los casos deictaminar si una transformación ha sido efectuada correctamente.

Los lógicos han comparado a menudo los cálculos con los juegos, sobre todo con el de ajedrez. En efecto: los símbolos primitivos corresponderían a las piezas del juego. Dado un objeto cualquiera podríamos decidir si se trata o no de una pieza de ajedrez: ante una máquina de vapor, por ejemplo, diríamos que no. Las reglas de formación corresponderían a las instrucciones sobre las posiciones que pueden ocupar las piezas: una pieza situada en la palma de una de las manos de un Buda del siglo IX no es una pieza en juego. Las reglas de transformación serían como las reglas sobre los movimientos que se pueden efectuar con las piezas: asomarse a un amplio ventanal y arrojar desde él un alfil al mar Adriático no sería un movimiento de ajedrez.

Los cálculos y los juegos se parecen en que son autárquicos, en que ni unos ni otros hacen referencia a nada ajeno a ellos, en que unos y otros carecen de otra finalidad que no sea calcular o jugar. En ambos casos establecemos unas reglas para combinar unos ciertos elementos: no atenerse a las reglas significa simplemente dejar de operar con ese determinado cálculo, «salirse del juego». Lo esencial de un cálculo es su carácter exclusivamente formal. Dicho de otro modo: su naturaleza puramente sintáctica. En efecto: acerca de un cálculo sólo se puede hacer – desde el metalenguaje por supuesto – consideraciones de pura sintaxis: «La expresión ‘X’ está mal formada», «La transformación de la expresión ‘X’ en la expresión ‘Y’ es correcta», etc.

Un cálculo no es, por tanto, un lenguaje, en la medida en que no es un medio de comunicación, sino un puro armazón sintáctico. Sus elementos carecen de significado. No son signos, sino entidades opacas que manipulamos de acuerdo con una serie de reglas.

Podemos, sin embargo, transformar un cálculo en un lenguaje. ¿Cómo? Interpretándo sus símbolos, proveyendo a sus símbolos de un significado. [...]

Ahora ya no estamos manejando un puro cálculo. Al haber interpretado sus símbolos hemos convertido el cálculo en un lenguaje. No se trata, sin embargo, de un lenguaje como el castellano, el bantú o el servo-croata. No se trata de un lenguaje natural, sino de un lenguaje formalizado, un lenguaje con estructura de cálculo, un lenguaje en el que no sólo es artificial el vocabulario, sino también – y esto es esencial – la sintaxis. Hemos formalizado – si bien de una forma muy tosca – las relaciones matrimoniales [en el ejemplo tratado] en un grupo humano donde está admitido el divorcio a voluntad.

Así pues, aunque en la práctica los cálculos se construyen a menudo pensando en sus posibles aplicaciones – o incluso en una aplicación concreta –, hay que señalar que, desde el punto de vista teórico, son absolutamente independientes del lenguaje o lenguajes formalizados que se puedan obtener interpretándolos.

Hay quienes piensan que la lógica es un conjunto de cálculos, o bien que la lógica es la teoría de la construcción de cálculos.

Nosotros entendemos la lógica como un conjunto de lenguajes formalizados, es decir, como un conjunto de cálculos a los que se da una interpretación en el campo de la investigación que – desde Aristóteles, por lo menos – constituye el objeto de la lógica. De entre todos los cálculos que podemos construir hay algunos que por su especial estructura y su bien rendimiento son particularmente aptos para ser aplicados a un ámbito específico de problemas, el ámbito de los problemas lógicos. La lógica, que durante más de veinte siglos ha consistido en una suma mal organizada de reflexiones acerca de las reglas formales del razonamiento, expresadas casi siempre en el lenguaje natural, constituye, en su forma contemporánea, la presentación formalizada de nuestro conocimiento acerca de ese determinado tema.”

[Deaño, Alfredo: Introducción a la lógica formal. 1. Lógica de enunciados. Madrid: Alianza Ed., 1975, pp. 23-31]

“A la lógica no le basta con disponer de un vocabulario artificial. Le es necesaria la formalización. Formalizar un lenguaje es dictar – desde un metalenguaje, por supuesto – su estructura, su sintaxis. Ya hemos visto, en efecto, cómo en un lenguaje natural es posible construir expresiones que, siendo irreprochables desde el punto de vista sintáctico, carecen, sin embargo, de sentido. Se hace necesario, en consecuencia, «endurecer» las reglas – sintácticas – de formación, en evitación de que en los sistemas lógicos puedan filtrarse enunciados de esa naturaleza. Naturalmente, y como ya hemos insinuado, la creación literaria es posible justamente porque expresiones de este tipo son posibles. Y la existencia de sistemas lógicos en los que estas construcciones están proscritas ha de ser celebrada también en la medida en que es por respecto a ellos como la obra de los artistas del lenguaje adquiere su carácter irónico.

En resumen: la lógica se presenta en forma de cálculo: en forma de cálculo interpretado con nociones lógicas. En forma, pues, de lenguaje formalizado.

Con los cálculos lógicos cabe hacer dos cosas: usarlos, o mencionarlos; jugarlos, o establecer su reglamento; operar, sin más, con ellos, o bien someterlos a consideración como un todo. Esa reflexión sobre los cálculos – que podrá consistir, por ejemplo, en el estudio de si cumplen determinadas exigencias, o en el examen de su posibilidad de aplicación a un cierto campo de objetos – tiene lugar, naturalmente, en un plano lingüístico superior al del cálculo mismo. Hablar acerca del cálculo es hablar desde el metalenguaje de éste. Hablar – en un cierto código que veremos – del cálculo lógico es hacer Metalógica. Puesto que el metalenguaje por excelencia es la Semiótica, la Metalógica no será otra cosa que Semiógica lógica, organizada en sintaxis lógica, semántica lógica y pragmática lógica.

En general, y sobre la base de la distinción entre lenguajes artificiales y lenguajes naturales, habría que distinguir entre sintaxis, semántica y pragmática puras o formales, dedicadas al estudio de los diferentes lenguajes del primer tipo, y sintaxis, semántica y pragmática descriptivas o empíricas, cuyo objeto sería el análisis de los aspectos correspondientes de cada una de las diversas lenguas.”

[Deaño, Alfredo: Introducción a la lógica formal. 1. Lógica de enunciados. Madrid: Alianza Ed., 1975, p. 41-42]