MODALLOGIK

Lógica modal

(Recop.) Justo Fernández López

 

Vgl.:

Mögliche Welten / Deontische Logik / Logik / Mehrwertige Logik / Modus / Modus und Modalität / Modus in der Philosophie

 

Modallogik

Teil der philosophischen Logik, die sich nicht nur mit der alethisch (kenntnismäßig) bestimmten Systematik zu den wahrheitsfunktionalen Aussagen beschäftigt, sondern modale Operatoren wie es ist notwendig/möglich miteinbringt und dadurch näher die formale Logik an die semantische Analyse natürlichen Sprachen heranrückt. (Hughes/Cresswell 1968 [dt. 1978]).“

Die letzte Spalte gibt die entsprechenden semantischen Begriffe an; eine Proposition hat eine von den modalen Eigenschaften, wenn und nur wenn irgendein die Proposition ausdrückender Satz die entsprechende semantische Eigenschaft hat.

Jede Proposition ist mit Rücksicht auf ein gegebenes System S entweder notwendig oder unmöglich oder zufällig. Die Klassifizierung ist gemäß unserer Interpretation der Modalitäten analog der Klassifizierung der Sätze von S in die drei Klassen von L-wahren, L-falschen und tatsachenabhängigen Sätzen. (Carnap [dt.] 1972: 220).“ [Abraham, W., S. 489]

Modallogik

Die Modallogik wurde begründet von Aristoteles und durch seine Schüler und die Scholastik weitergeführt. Durch Vermengung verschiedener Ansätze bestand in den Ergebnissen z. T. eine gewisse Verwirrung. – In die Logistik wurde die Modalität 1918 durch das System der «strict implication» von C. I. Lewis eingeführt. Er stellte 5 verschiedene Kalküle S1 – S5 auf, von denen die Gesetze eines jeden im folgenden enthalten sind.”

[Bochenski, I. M. / Menne, A.: Grundriss der Logistik. Paderborn: Schöningh, 41973, S. 115]

Modallogik

Eine semantische Beschränkung der prädikatenlogischen Sprache ist, dass man nicht über mehr als eine Welt auf einmal sprechen kann. In natürlichen Sprachen können wir jedoch mit Leichtigkeit über Beziehungen zwischen verschiedenen möglichen Welten sprechen.

(1)  Es ist möglich, dass es morgen Gewitter gibt.

Wer diesen Satz äußert, weiß nicht mit Sicherheit, welches Wetter es morgen gibt, er kann sich mehrere Möglichkeiten vorstellen. Die Welt, so wie sie morgen aussieht, ist also für ihn eine von mehreren möglichen Welten. Was er sagt, wenn er (1) äußert, ist, dass mindestens eine dieser möglichen Welten derart ist, dass es in ihr regnet. Entsprechend verhält es sich mit dem folgenden Satz:

(2)  Es ist sicher, dass es morgen Gewitter gibt.

(3)  sagt aus, dass es, wie auch die Welt morgen aussehen wird, auf jeden Fall Gewitter gibt. Mit anderen Worten, in allen möglichen Welten gibt es morgen Gewitter.

Wir können also möglich und sicher folgendermaßen umschreiben:

(4)  möglich          = wahr in mindestens einer möglichen Welt

sicher             = wahr in allen möglichen Welten

Die möglichen Welten, von denen wir hier sprachen, waren etwa die Welten, die wir uns anhand unserer Kenntnisse von den bestehenden Verhältnissen vorstellen können. Der Logiker ist darüber hinaus an allen Welten interessiert, die logisch möglich sind, d.h. solchen, die man ohne logischen Widerspruch beschreiben kann. Es ist ziemlich klar, dass viele logisch mögliche Welten sozusagen in der Praxis nicht möglich sind; z.B. ist es logisch möglich, dass das, was Sie jetzt lesen, nicht ein Logikkompendium, sondern das sozialdemokratische Parteiprogramm ist, aber  «in der Praxis» sind Sie natürlich davon überzeugt, dass das nicht der Fall ist.

Was in allen logisch möglichen Welten wahr ist, wird nicht mit «sicher», sondern meist als «notwendig» bezeichnet. Die Logik, die die Eigenschaften von Begriffen wie «möglich» und «notwendig» untersucht, heißt Modallogik.

Diesen Begriffen entsprechen im Deutschen Ausdrücke wie es ist möglich, dass, gefolgt von einem Nebensatz. Das Gleiche kann auch durch ein modales Hilfsverb ausgedrückt werden, vgl.

(5)  Es kann morgen Gewitter geben.

oder durch Satzadverbien wie vielleicht.

Die Logiker verwenden einen Formalismus, der syntaktisch den natürlichen Sprachen ziemlich ähnlich ist. Man führt zwei neue logische Konstanten M und N ein, die man vor einem beliebigen Satz setzen kann, um einen neuen Satz zu erhalten. Mp ist dann zu lesen «es ist möglich, dass p» und Np «es ist notwendig, dass p» (oder auch: «es ist sicher, dass p»). M und N werden modale Operatoren genannt. Man kann mehrere Modaloperatoren hintereinander setzen und sie im übrigen mit dem Negationsoperator mischen, z.B.

(6)  MNMM ~ Mp  (wie ist das zu lesen?)

Zwischen den beiden Modaloperatoren gibt es bestimmte logische Beziehungen. Si lassen sich durch folgende Tautologien angeben:

(7)  Mp ≡ ~ N ~ P          «es ist möglich, dass p ist äquivalent zu: es ist nicht notwendig, dass nicht p»

(8)  Np ≡ ~ M ~ P «es ist notwendig, dass p ist äquivalent zu: es ist nicht möglich, dass nicht p»

Bei einem strengeren Aufbau der Semantik als hier durchgeführt lassen sich diese intuitiv einleuchtenden Äquivalenzen zu Zwecke der Definition benutzen, indem man zunächst die Bedeutung des Notwendigkeitsoperators festlegt und dann den Möglichkeitsoperator mithilfe einer Definition, die ähnlich aussieht wie (7), aus ihm definiert.“

[Allwood, J. / Andersson, L-G / Dahl, Ö: Logik für Linguisten. Tübingen: Niemeyer (= Romanistische Arbeitshefte), 1973, S. 91-92]

Reine Modalbegriffe

Die Modalbegriffe (der Umgangssprache) werden durch die modallogischen Operatoren (Modaloperatoren) in reine Modalbegriffe umformuliert. Sieht man einmal von den Problemen einer solchen Umformung ab – sie werden sogar häufig in Abrede gestellt –, so kann ihre logische Abhängigkeit bzw. Interdefinierbarkeit anhand des folgenden Diagramms veranschaulicht werden:

 

(1) Nichts kann zugleich möglich und unmöglich, nichts zugleich notwendig und unnotwendig sein, d. h., Mögliches und Unmögliches schließen einander aus, ebenso Notwendiges und Unnotwendiges; sie sind, logisch gesprochen, kontradiktorische Gegensätze.

(2)                        Nichts Notwendiges ist unmöglich, nichts Unmögliches ist notwendig, aber es kann der Fall eintreten, dass etwas zugleich nicht notwendig und nicht unmöglich ist. Diese Beziehung zwischen N und UM nennt man konträr: Nichts kann zugleich notwendig und unmöglich sein, das Kontingente aber ist zugleich beides nicht, d. h. weder N noch UM.

(3)                        Einiges Unnotwendige ist möglich, einiges Mögliche ist unnotwendig, d. h., die Bereiche des Unnotwendigen und des Möglichen überschneiden sich. Logisch gesprochen handelt es sich um das Verhältnis der Subkontrarietät.

In Anlehnung an das logische Quadrat der Aristotelischen Syllogistik kann man diese Beziehungen in folgendem Schema eines Modalitätenquadrates veranschaulichen:

(4)                        Dass alles Notwendige möglich ist, ist daher in einem modallogischen Kalkül ebenso gültig wie gilt, dass alles Unmögliche unnotwendig ist. Man könnte hier in Analogie zum logischen Quadrat von subalternem Verhältnis sprechen.

Die Modallogik nun zieht die durch Modaloperatoren (M, N, UM, UN) bestimmten Aussagen in Betracht. Stünde ›p‹ z. B. für »Bienen schwärmen im September«, so hieße Mp soviel wie »Es ist möglich, dass Bienen im September schwärmen«.”

[Seiffert, Helmut / Radnitzky, Gerard (Hrsg.): Handlexikon zur Wissenschaftstheorie. München: Ehrenwirth Verlag, 1989, S. 216-217]

La lógica modal

No sólo es que nuestra lógica [clásica] opere con dos únicos valores de verdad. Es que, además, esos dos valores son la verdad a secas y la falsedad a secas. Dicho de otro modo: en la lógica clásica no hay más que dos alternativas: o se afirma una proposición como verdadera sin más, o se afirma una proposición como falsa sin más. Por lo tanto, no hay, en primer lugar, valores intermedios – cuya admisión conduciría a las lógicas polivalentes –, ni tampoco hay, en segundo lugar, matices. Quiere decirse: no se admiten modalidades de esa verdad o de esa falsedad.

Ahora bien: en el discurso ordinario no nos limitamos muchas veces a decir, por ejemplo, que p (o que no-p) sin más, sino que matizamos. Y decimos también, por ejemplo:

es necesario que p.

es posible que p.

es imposible que p.

no es posible que no-p.

no es imposible que p.

es imposible que no-p.     Etc.

A estas cláusulas – ‘es necesario que ...’, ‘es posible que ...’, ‘es imposible que ...’ – se las llama operadores modales.

La lógica modal nace con Aristóteles. Fue él, en efecto, el primero en comprender que las nociones modales desempeñan un papel decisivo en la validez de ciertos tipos de inferencia.

¿Cuál es el sentido radical de este apartado de la lógica?

Con ayuda de la negación, todas las nociones modales pueden reducirse a una. Y esa una puede ser, o bien la noción de necesidad, o bien la noción de posibilidad. [...]

De una parte, la lógica modal puede entenderse como un sistema lógico específico en el que se estudian las relaciones de inferencia entre proposiciones afectadas por operadores modales. Así lo hizo Aristóteles en su sistema de silogística modal. Así lo hicieron los lógicos de la Baja Edad Media formulando consequentiae modales (por ejemplo: ab esse ad posse valet consequentia).

Pero hay otro modo de entender la lógica modal. Entendida de ese modo queda patente su importancia y radicalidad. La lógica modal puede entenderse como el estudio de la noción de necesidad lógica. [...]

Pero las modalidades de las que hemos hablado no son las únicas. Ya sabemos que podemos no limitarnos a decir «p» o «q», diciendo también «es necesario que p», «es imposible que q», etc. Pero todavía nos quedan más posibilidades, de las que hacemos uso constantemente. Decimos, por ejemplo,

es obligatorio que p

está permitido que p

está prohibido que p

Este tipo de modalidades – «obligatorio», «permitido», «prohibido» (en las que no es difícil reconocer un paralelismo con «necesario», «posible», «imposible», respectivamente) – reciben el nombre de «modalidades deónticas». A las modalidades que de la lógica bivalente se las denomina «modalidades aléticas». «Aléticas», de «alétheia», «verdad».

Y es que, en efecto, en la lógica deóntica no se opera con valores de verdad, sino con lo que se ha llamado «valores de ejecución». Aquí no se trata de proposiciones que podrían ser verdaderas o falsas, sino de acciones que podrán ser ejecutadas u omitidas.

La lógica deóntica – a la que es razonable considerar «como una rama o desarrollo peculiar de la lógica modal» –, se ocuparía de las relaciones de inferencia entre normas, es decir, entre proposiciones prescriptivas. Cierto que las normas no tienen, a lo que parece, valores de verdad. Ello no impide, sin embargo, que entre ellas puedan entablarse relaciones lógicas. Así, por ejemplo, de que algo sea obligatorio puede seguirse que alguna otra cosa está prohibida.

Las modalidades aléticas – modalidades por antonomasia – y las modalidades deónticas no son los únicos tipos de modalidades, pero sí son los únicos de que aquí haremos mención.”

[Deaño, Alfredo: Introducción a la lógica formal. 2. Lógica de predicados. Madrid: Alianza Ed., 1975, p. 208 sigs.]