MEHRWERTIGE LOGIK

Lógica polivalente

(Recop.) Justo Fernández López

 

Vgl.:

Logik / Mögliche Welten / Deontische Logik / Logik / Modallogik

 

„Das ist die missliche Lage des abweichenden Logikers; wenn er die Theorie ändern will, dann hat er eben von etwas anderem gesprochen.“

[Quine, Willard van Orman: Philosophie der Logik. Stuttgart: W. Kohlhammer, 1973, S. 93]

Mehrwertige Logik

Wie neben der klassischen euklidischen Geometrie nicht-klassische Geometrien widerspruchsfrei konstruierbar sind durch Auslassung bzw. Abänderung des Parallelenaxioms, so lassen sich auch neben der klassischen aristotelischen zweiwertigen Logik widerspruchsfreie mehrwertige Logiken konstruieren, in denen der «Satz vom ausgeschlossenen Dritten» nicht mehr gilt.”

[Bochenski, I. M. / Menne, A.: Grundriss der Logistik. Paderborn: Schöningh, 41973, S. 116]

“Die drei Werte des dreiwertigen Kalküls wurden als «wahr», «möglich» oder «unbestimmt», «falsch» interpretiert. Es sollte jedoch tunlichst jede Vermengung mit den Wahrheitswerten des zweiwertigen Kalküls oder mit den Modalitäten des Modalkalküls gemieden werden, um voreiligen Behauptungen und Missverständnissen den Boden zu entziehen wie etwa: «Die Aristotelische Logik ist falsch, denn der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt nicht». Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt selbstverständlich – in einem Kalkül mit einem zweiwertigen Negator. In einem Kalkül mit einem dreiwertigen Zyklator1 dagegen gilt natürlich nur der Satz vom ausgeschlossenen Vierten. Mögliche Interpretation der 3 Geltungswerte wären etwa: «verifizierbar», «unbekannt», «falsifizierbar»; «vollgültig», «teilweise gültig», «ungültig».”

[Bochenski, I. M. / Menne, A.: Grundriss der Logistik. Paderborn: Schöningh, 41973, S. 109]

____________

1      Zyklator = monadischer Valenzfunktor, durch dessen wiederholte Anwendung ein Argument alle Werte des Bereichs durchläuft, bis schließlich der Ausgangswert sich wieder ergibt.

„In einer echten n-wertigen Logik lässt sich ein Zyklator konstruieren, durch dessen wiederholte Anwendung ein Argument alle n verschiedenen Werte nacheinander durchläuft, um nach n-maliger Anwendung des Zyklators wieder den Ausgangswert anzunehmen.“

[Bochenski, I. M. / Menne, A.: Grundriss der Logistik. Paderborn: Schöningh, 41973, S. 120]

„Anklänge an eine dreiwertige Logik finden sich bereits bei Aristoteles in peri hermeneias, doch weder er noch seine Nachfolge gaben das Prinzip der Zweiwertigkeit grundsätzlich auf. Die mehrwertigen Logiken wurden unabhängig voneinander von J. Lukasiewicz (1920) und E. I. Post (1921) entdeckt. Sie wurden vor allem in der polnischen Schule weiter untersucht und von Wajsberg (1931) erstmals axiomatisiert. Die topologische Logik wurde von C. G. Hempel (1937) entwickelt. Die Diskussion um die Anwendung und philosophische Interpretation der mehrwertigen Logik ist noch nicht abgeschlossen. Ein Kalkül mit den 4 Grundmodalitäten lässt sich z. B. als Teilkalkül einer vierwertigen Logik aufbauen; der unendlich-wertige Kalkül lässt sich als Wahrscheinlichkeitskalkül interpretieren. Die mehrwertige Logik wurde von H. Reichenbach u.a. auf die Quantenmechanik angewandt.“

[Bochenski, I. M. / Menne, A.: Grundriss der Logistik. Paderborn: Schöningh, 41973, S. 120-121]

Lógica polivalente

El sistema de la lógica «clásica» [ver Logik] es un sistema regido por la ley de la bivalencia, según la cual toda oración enunciativa (proposición) logos apofantikós, siguiendo a Aristóteles, es o bien verdadera o bien falsa. Ello quiere decir desde la abstracción del cálculo formal, que el conjunto de los valores consta ni más ni menos que de dos elementos.

La lógica polivalente hace referencia a sistemas formales con más de dos valores, de ahí que reciba este nombre de lógica no-clásica o lógica no-aristotélica, guiados, sin duda quienes le aplican este último calificativo, por el famoso pasaje de De Interpretatione, 17 a, 2, si bien tal denominación no es correcta, dado que fue precisamente Aristóteles en la obra mencionada el primero que puso en tela de juicio la ley de la bivalencia por lo que se refiere a cierto tipo de lógoi apofantikói (proposiciones, en nuestro lenguaje), cuales son las que se refieren a futuros contingentes como es si «mañana habrá una batalla naval», para seguir el ejemplo de Aristóteles.

La lógica polivalente constituye una disciplina no lo suficientemente definida en su estado actual de desarrollo. Se compone de una gran masa de hallazgos éstos debidos a autores que se acercan a la materia desde puntos de vista muy heterogéneos. En este sentido cabe citar las obras de Rosser y Turquette (1952), A. Zinoviev (1963), R. Ackermann (1967) y N. Rescher (1969).

La aproximación a la lógica polivalente ha tenido lugar desde dos perspectivas claramente distinguibles, si bien no desconexionadas entre sí:

a)     desde la filosofía.

b)     desde el desarrollo algebraico de la Lógica. “

[Velarde Lombraña, Julián: Historia de la lógica. Oviedo: Servicio de Public. de la Universidad. O. J., p. 409]

“Los fundadores de la lógica polivalente son Mac Coll (1873-1909), C. S. Peirce (183-1914), N. A. Vasiliev (1880-1940).

Dos escritos aparecidos alrededor del año 20 sientan las bases de la lógica polivalente. Ambos escritos son independientes entre sí y se acercan a la materia desde dos perspectivas distintas. Un artículo de Lukasiewicz (1920) constituye el resultado de las investigaciones que el autor había venido realizando sobre las llamadas «proposiciones modales» y sobre las nociones con ellas relacionadas de posibilidad y necesidad. Motivado por estas consideraciones de carácter filosófico propone y desarrolla un sistema de lógica trivalente.

E. Post (1921) descubrió su familia de sistemas polivalentes independientemente de Lukasiewicz. Guiado, no por cuestiones filosóficas, sino por cuestiones puramente formales internas a la lógica, expuso su sistema de n-valores en toda su generalidad, es decir, desde una perspectiva estrictamente algebraica.”

[Velarde Lombraña, Julián: Historia de la lógica. Oviedo: Servicio de Public. de la Universidad. O. J., p. 410-411]

“Lukasiewicz concibió la idea de recurrir a un sistema de lógica trivalente como medio para resolver el problema aristotélico de los futuros contingentes. El cálculo de proposiciones ordinario es bivalente y admite implícitamente la ley según la cual toda proposición o bien es verdadera o bien es falsa. Ahora bien, según Lukasiewicz, esta ley, la más fundamental de nuestra lógica no parece completamente evidente. La proposición «Estaré en Varsovia a mediodía del 21 de diciembre del año próximo» no puede ser ahora ni verdadera ni falsa; debe, pues, poseer un valor distinto de “1” y “0”, este valor puede designarse por “1/2” y representa «lo posible».”

[Velarde Lombraña, Julián: Historia de la lógica. Oviedo: Servicio de Public. de la Universidad. O. J., p. 412]

En 1938 S. C. Kleene presenta un nuevo sistema de lógica trivalente en el marco de la teoría de las funciones recursivas. Construye sus tablas de verdad en términos de una aplicación matemática.

Aplicaciones de la lógica polivalente

Una de las primeras aplicaciones de los sistemas polivalentes tuvo lugar en el campo de la Matemática; especialmente está a la base del intuicionismo. Los primeros intentos en este sentido se deben a L. E. J. Brouwer. Pero la nueva rama de la Lógica ha sido fecunda en los campos de las diversas disciplinas. Cabe citar en el campo del álgebra los trabajos de Bernstein y Moisil; en el de las matemáticas, los de S. Mazurkievicz y A. Tarski; en el de la física, los de Birkhoff, von Neumann, Reichenbach; en el de la electrónica, los de Shestakov y Moisil; en el de los «conjuntos difusos», los de Zadeh y Goguen.

Finalmente cabe señalar la significación de la lógica polivalente dentro de la Lógica: Zinoviev, Moh Shaw-Kwei. Pero, sin duda alguna, la mayor significación que cabe atribuir a la lógica polivalente consiste en su mismo descubrimiento: las leyes de la lógica han sido frecuentemente hipostasiadas y consideradas como leyes apriorísticas, analíticas en el sentido de evidentes por sí mismas, y, en cuanto tales, eran intocables. El descubrimiento de la lógica polivalente demostró que eran posibles estas otras leyes alternativas y con ello se abrían amplios horizontes en las investigaciones de lógica.“

[Velarde Lombraña, Julián: Historia de la lógica. Oviedo: Servicio de Public. de la Universidad. O. J., p. 416-417]

La lógica polivalente

La lógica clásica da por descontado que un enunciado no puede tener más que dos valores: el valor verdad y el valor falsedad. Si, con Lukasiewicz, llamamos a esta aserción «Principio de Bivalencia», podemos decir que la lógica clásica es una lógica bivalente.

«Mañana habrá una batalla naval». ¿Es verdadero, hoy, este enunciado? Si lo es, entonces el futuro está predeterminado. Nada podrá impedir que mañana haya una batalla naval. Si es falso hoy que mañana habrá una batalla naval venimos a dar en los mismo: no habrá forma de entablar mañana una batalla naval, y el futuro se nos escapa también por este lado. Así, pues, la batalla naval de mañana será, o necesaria – si el enunciado que la anuncia la víspera es ya verdadero en este momento – o imposible – si el enunciado en cuestión es falso.

Ahora bien: la batalla naval de mañana es un evento futuro contingente. Contingente: es decir, ni necesario, ni imposible.

Si queremos escapar a la paradoja de que nuestro futuro esté ya hecho desde siempre y para siempre, hemos de convenir en que enunciados como éste no son, hoy, ni verdaderos ni falsos. Son, si se quiere, indeterminados.

Sus reflexiones sobre una posible batalla naval hacen de Aristóteles el primer deslumbrador de las lógicas polivalentes.

Las lógicas polivalentes pueden ser, o finitamente polivalentes, o infinitamente polivalentes, según se admitan valores intermedios en número finito o infinito entre el valor verdad y el valor falsedad. [...] Las lógicas trivalentes constituyen el nivel más elemental de la lógica polivalente. No es difícil imaginar una lógica en la que se admitieran cuatro valores de verdad. En ella los enunciados podrán ser: (1) Verdaderos; (2) Más bien verdaderos que falsos; (3) Más bien falsos que verdaderos; (4) Falsos. O cinco: 1) Enunciados verdaderos; 2) Enunciados más bien verdaderos que falsos; 3) Enunciados indeterminados; 4) Enunciados más bien falsos que verdaderos; 5) Enunciados falsos. Etc. [...]

A nadie puede sorprender que la lógica trivalente no se atenga al principio de tercio excluso. Precisamente las lógicas polivalentes se construyen sobre la base de su transgresión; no sólo no excluyen un tercer valor, sino que nacen de admitirlo.

En resumen: todas las expresiones que son tautologías en lógica bivalente lo son también en lógica trivalente. La inversa, sin embargo, no es verdadera.”

[Deaño, Alfredo: Introducción a la lógica formal. 2. Lógica de predicados. Madrid: Alianza Ed., 1975, p. 202 sigs.]