MATHEMATIK

Matemáticas

(Recop.) Justo Fernández López

 

Vgl.:

Zahl / Mengenlehre / Formalismus / Formale Logik / Logizismus / Intuitionismus / Konstruktivismus / Platonismus / Konzeptualismus / Nominalismus / Frege, Gottlob / Abstraktion / Transzendental / Fiktion / Axiom

 

Mathematische Hintergründe – Mathe Online:

Die Mathematischen Hintergründe und das Lexikon stellen Themenbereiche aus dem Stoff für AHS-Oberstufe, BHS und einzelne Universitätsstudien dar. Sie können den Unterricht unterstützen und sollten sich durchaus für Nachhilfe, Studium und Erwachsenenbildung eignen, wenn ein etwas tieferes Verständnis als das bloße Anwenden von Regeln angestrebt wird und Zusammenhänge zwischen den einzelnen Teilgebieten deutlich werden sollen.

http://www.univie.ac.at/future.media/mo/mathint.html

Über Zahlen:

http://www.univie.ac.at/future.media/mo/mathint/zahlen/i.html

„Das Wesen des Rechnens haben wir beim Rechenlernen kennen gelernt.“

[Wittgenstein, Ludwig: „Über Gewissheit“. In: ders. Werkausgabe, Bd. 8. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1984, S. 129]

Philosophie der Mathematik

Philosophische Disziplin, die die grundlegenden Begriffe und Annahmen der Mathematik analysiert.

Während die mathematische Erkenntnis seit der Antike Gegenstand philos. Spekulation gewesen ist, hat sich die Philosophie der Mathematik erst mit dem Entstehen der formalen Logik und der mathematischen Grundlagenforschung Ende des letzten Jh. als ein eigenes Forschungsgebiet mit deutlich abgegrenzten Hauptrichtungen, Programmen usw. entwickelt. Zwei Fragen sind von besonderer Wichtigkeit für die Philosophie der Mathematik:

a)                 Die Frage nach dem Gegenstand mathematischer Aussagen. Beschreiben diese Aussagen einen Teil der Wirklichkeit, und handelt es sich dann um die empirische Welt oder eher um eine selbständig existierende mathematische Wirklichkeit (das ontologische Problem)?

b)                 Die Frage nach dem erkenntnistheoretischen Status mathematischer Aussagen. Wie erlangen wir Wissen über mathematische Wahrheiten, und in welcher Beziehung steht dieses zu unserem übrigen Wissen (das erkenntnistheoretische Problem)?

Die drei Hauptrichtungen der Philosophie der Mathematik – der Logizismus, der Formalismus und der Konstruktivismus/Intuitionismus – differieren stark in ihren Antworten auf diese Fragen.“

[Hügli, A. / Lübcke, P. (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 381-382]

„Weil es der Sprachbau ist, der die Bedeutungsmöglichkeiten der Rede vorzeichnet, darum ist die »Verschiedenheit des menschlichen Sprachbaues«, auf die Wilhelm von Humboldt nachdrücklich hingewiesen hat, zugleich die Verschiedenheit der Bedeutungsmöglichkeiten dessen, was in den verschiedenen Sprachen gesagt werden kann. Aus diesem Grund ist es nicht möglich, den Sinn des Gesprochenen bei Übersetzung in eine Sprache deutlich abweichenden Baues unangetastet zu bewahren. Dabei handelt es sich nicht nur um ein Mehr noch Weniger an möglichem Sinn des Gesprochenen, sondern um eine Differenz der Bedeutungsart (die internationale Sprache der Mathematik hat weder mehr noch weniger Sinn als die nationalen Sprachen, sondern eine andere Sinnqualität; ähnliches gilt auch für das Verhältnis der nationalen Sprachen untereinander).“

[Krings, H. / Baumgartner, H. M. / Wild, Ch. (Hrsg.): Handbuch philosophischer Grundbegriffe. München: Kösel-Verlag, 1973, Bd. 5, S. 1331]

"Die Logik der Welt, die die Sätze der Logik in den Tautologien zeigen, zeigt die Mathematik in den Gleichungen." (Wittgenstein, T 6.22)

"Das Verstehen der mathematischen Frage. Wie wissen wir, ob wir eine mathematische Frage verstehen?

Eine Frage – kann man sagen – ist ein Auftrag. Und einen Auftrag verstehen, heißt: wissen, was man zu tun hat."

[Wittgenstein, L.: Zettel 695. Werkausgabe Band 8. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1984, S. 438]

"Die mathematische Frage ist eine Herausforderung. Und man könnte sagen: sie hat Sinn, wenn sie uns zu einer mathematischen Tätigkeit anspornt."

[Wittgenstein, L.: Zettel 696. Werkausgabe Band 8. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1984, S. 438]

"Man könnte dann auch sagen, eine Frage in der Mathematik habe Sinn, wenn sie die mathematische Phantasie anregt."

[Wittgenstein, L.: Zettel 697. Werkausgabe Band 8. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1984, S. 438]

"Übrigens tritt der Unterschied zwischen dem, was man Sätze der Mathematik nennt und Erfahrungssätzen zu Tage, wenn man bedenkt, ob es Sinn hat zu sagen: »ich wünsche mir, 2 x 2 wäre 5!«."

[Wittgenstein, L.: Zettel 701. Werkausgabe Band 8. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1984, S. 439]

"Warum ist ein Widerspruch mehr zu fürchten, als eine Tautologie?"

[Wittgenstein, L.: Zettel 689. Werkausgabe Band 8. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1984, S. 436]

"Ein Widerspruch ist nicht eine Katastrophe aufzufassen, sondern als eine Mauer, die uns anzeigt, dass wir hier nicht weiter können."

[Wittgenstein, L.: Zettel 687. Werkausgabe Band 8. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1984, S. 436]

"Die Zahlen sind der Mathematik nicht fundamental."

[Wittgenstein, L.: Zettel 706. Werkausgabe Band 8. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1984, S. 440]

“In seinen Grundlagen der Arithmetik aus dem Jahr 1884 liefert Gottlob Frege  zunächst eine vernichtende Kritik der üblichen Antworten auf die Frage «Was sind Zahlen?» und «Welchen erkenntnismäßigen Status hat mathematische Wahrheit?». Seine Antwort beruht auf der Grundthese des Logizismus, dass die Mathematik eine Weiterentwicklung der Logik sei. Mit Hilfe der Alltagssprache beschreibt er die Prinzipien, die es erlauben, mathematische auf logische Begriffe zurückzuführen, wie sie in den Grundgesetzen der Arithmetik formalisiert werden. Die philosophische Argumentation F. führt jedoch weit über die Philosophie der Mathematik hinaus und fand nicht zuletzt bei Wittgenstein später in anderen Zusammenhängen wieder Aufnahme, so das kontextuelle Prinzip, demzufolge der Sinne eines Wortes immer aus dem Satzzusammenhang (Kontext) erklärt werden soll und nie isoliert betrachtet werden darf.”

[Hügli, A. / Lübcke, P. (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 194]

Satz, Axiome, Regeln

Solche durch Regeln herstellbare Kennten nenn man Sätze. Der Ausdruck «Satz» hat natürlich im mathematischen Sprachgebrauch eine Bedeutung, die ganz anders ist als die unsrige. Er bedeutet eine Aussage in gewöhnlicher Sprache, die durch rigorose Beweisführung als wahr erkannt worden ist, wie Zenos Satz von der «Unexistenz» der Bewegung oder Euklids Satz von der Unendlichkeit der Primzahlen. In einem formalen System aber brauch man Sätze nicht als Aussagen zu betrachten – sie sind lediglich Symbolketten. Und sie werden nicht bewiesen, sondern einfach wie von einer Maschine nach gewissen typographischen Regeln erzeugt. Um diese wichtige Unterscheidung in der Bedeutung des Wortes «Satz» zu betonen, gehe ich in diesem Buch wie folgt vor: wenn «Satz» in normalen Buchstaben wiedergegeben wird, hat das Wort seine alltägliche Bedeutung – ein Satz ist eine Aussage in der gewöhnlichen Sprache, die jemand einmal durch logische Argumentation als wahr bewiesen hat. Wenn in Großbuchstaben, soll «SATZ» seine technische Bedeutung haben: eine in einem formalen System erzeugbaren Kette. [...]

Ich gab Ihnen einen SATZ zu Beginn vor, nämlich MI. Ein solcher SATZ, den man «umsonst» erhält, heißt Axiom – und wiederum ist die technische Bedeutung von der gängigen völlig verschieden. Ein formales System kann kein, ein, mehrere, ja sogar unendlich viele Axiome besitzen.

Jedes formale System hat Regeln für das Rangieren von Symbolen wie etwa die vier Regeln des MIU-Systems. Diese Regeln nennt man entweder Erzeugungs-Regeln oder Schluss-Regeln. Ich werde beide Ausdrücke benützen.

Der letzte Begriff, den ich hier einführen will, ist der der Ableitung. Ich gebe hier eine Ableitung des SATZES MUIIO:

1) MI

Axiom

2) MII

aus 1) durch Regel II

3) MIIII

aus 2) durch Regel II

4) MIIIIU

aus 3) durch Regel I

5) MUIU

aus 4) durch Regel III

6) MUIUUIU

aus 5) durch Regel II

7) MUIIU

aus 6) durch Regel IV

 

Einen SATZ ableiten bedeutet, explizit schrittweise zu zeigen, wie man den SATZ nach den Regeln des formalen Systems erzeugen kann. Der Begriff der Ableitung ist dem des Beweises nachgebildet, aber eine Ableitung ist eine strengere Verwandte des Beweises. Es würde seltsam klingen, zu sagen, dass man MUIIU bewiesen hat, aber es klingt weniger seltsam, zu sagen, dass man MUIIU abgeleitet hat.”

[Hofstadter, Douglas R.: Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band. Stuttgart: Klett-Cotta, 1986,  S. 39‑40]

«Auch das abstrakt denkende Ich ist ein körperliches: Die sinnlich-körperlichen Bausteine der Mathematik. „Das Ich ist vor allem ein körperliches", schreibt Freud in „Das Ich und das Es", „es ist nicht nur ein Oberflächenwesen, sondern selbst Projektion einer Oberfläche" (Freud 1923, 253). Er meint damit die Oberfläche unseres Körpers, von der zugleich äußere und innere Wahrnehmungen ausgehen.

Wie ist das aber zu verstehen, wenn das Ich mit sehr abstrakten Leistungen beschäftigt ist, zum Beispiel mit mathematischem Denken, quasi dem Inbegriff von Körperferne. Oder anders gefragt: Ein Subjekt, das gerade komplexe mathematische Probleme löst, hat zwar einen Körper; aber ist es bei diesem Vorgang auch körperlich? Bilden auch für das mathematisch denkende Ich die Projektion sensomotorischer Erfahrungen die Grundlage? Und wie soll man das untersuchen und entscheiden, wie nachweisen?

George Lakoff und Rafael Núñez (2000) widmen diesen Fragen ein spannendes Buch mit dem Titel: „Where Mathematics Comes From". Und sie kommen darin zu einer eindeutigen Antwort: auch mathematisches Denken ist „verkörpert". Das Wort „verkörpert" ist die etwas holprig klingende Übersetzung von „embodied", einem Begriff, nach dem sich bereits ein ganzer Wissenszweig nennt: „embodied science".

Bei den Autoren handelt es sich nicht um Psychoanalytiker. George Lakoff, ein Schüler von Noam Chomsky, lehrt in Berkeley kognitive Linguistik und setzt sich seit vielen Jahren intensiv mit der Rolle von Metaphern in unserer alltäglichen Sprache auseinander. Andere Werke von ihm sind „Metaphors We Live By" (1980), das es unter dem Titel „Leben in Metaphern" auch in deutscher Übersetzung gibt, und „Philosophy in the Flesh" (1999), beide mit dem Philosophen Mark Johnson als Co-Autor. Rafael Núñez ist Psychologe und Mathematiker. In Deutschland beschäftigt sich Michael B. Buchholz (1999) seit mehr als 10 Jahren damit, den metapherntheoretischen Ansatz von Lakoff für Psychotherapie und Psychoanalyse anzuwenden. Bei ihm habe ich auch den Hinweis auf das Buch über Mathematik gefunden (Buchholz 2002). [...]

Lakoff und Núñez folgend könnte man antworten: Mathematik ist nicht so unabhängig von unserer Erfahrung, wie es erscheint. Mathematisches Denken ist in unserer Wahrnehmung äußerer Objekte und unseres eigenen Körpers verankert und bringt so die Logik der äußeren Realität mit sich. Wovon gehen Lakoff und Núñez in ihrer Untersuchung der psychischen Grundlagen der Mathematik aus? Das Buch „Philosophy In The Flesh" beginnt mit drei Sätzen: „The mind is inherently embodied. Thought is mostly unconscious. Abstract concepts are largely metaphorical."

Die grundlegenden Aussagen sind also folgende:

Denken ist verkörpert. Die Natur unserer Körper, unser Gehirn und unser alltägliches Funktionieren in der Welt strukturieren unsere Begriffe und unser Denken. Dies gilt genauso für mathematische Begriffe und mathematisches Denken.

Denken ist großteils unbewusst. Nicht verdrängt unbewusst im freudschen Sinn, wie sie betonen, sondern einfach für direkte Introspektion unzugänglich. Wir können unsere Auffassungssysteme und unsere Denkprozesse, einschließlich des größten Anteils am mathematischen Denken, nicht direkt betrachten.

Denken ist großteils metaphorisch. Auch abstrakte Konzepte sind großteils mit Hilfe konkreter Begriffe konzipiert, indem sie Ideen und Denk­weisen verwenden, die sich auf unser sensomotorisches System stützen. Den Mechanismus, mit dem Abstraktes in Begriffen des Konkreten verstanden wird, nennt Lakoff konzeptuelle Metapher. Auch mathematisches Denken verwendet konzeptuelle Metaphern, z. B. wenn wir Zahlen als Punkte auf einer Linie denken. [...]

Mit welchen unbewussten konzeptuellen Mechanismen ist Mathematik, die über diese angeborenen Fähigkeiten hinausgeht, in unserem Körper verankert? Die Autoren diskutieren die aus ihrer Sicht wichtigsten vier (Lakoff, Johnson 1999a, 30): Vorstellungsschemata, Schemata der Bewegungskontrolle, konzeptuelle Metaphern und konzeptuelle Verschmelzungen (conceptual blends).

Die Metapher hat keinen guten Ruf im abendländischen Denken – und hier soll sie die Grundlage für die exakteste aller Wissenschaften liefern. Seit Aristoteles gilt sie als Element der Rhetorik, das der Demagogie, der Verführung der Massen dient. Sie gilt als nicht wahrheitsfähig und für die Wissenschaft nicht brauchbar. Auch die Zweifel an der Wissenschaftlichkeit der Psychoanalyse wurden mitunter damit begründet, dass ihre Theorie eine Ansammlung von Metaphern und insofern nicht exakt sei. Aber die Beiträge häufen sich, die zeigen, dass auch die harten, die „exakten" Wissenschaften keineswegs frei von Metaphern sind, und zwar in ihren Grundsätzen; dass die Wissenschaftler sich in ihrer alltäglichen Kommunikation, z. B. in ihren Gesprächen in einem Labor für Teilchenphysik, sehr metaphorisch ausdrücken, wurde auch schon untersucht und lässt sich offenbar leicht nachweisen (siehe Buchholz, von Kleist 1997, 51): Da „antworten" Computer, „verarbeiten" Dinge, oder „spinnen" mitunter und „verweigern die Antwort".

Im Einleitungsabsatz des Buches „Leben in Metaphern" heißt es:

Die Metapher ist für die meisten Menschen ein Mittel der poetischen Imagination und der rhetorischen Geste — also dem Bereich der außergewöhnlichen und nicht der gewöhnlichen Sprache zuzuordnen. Überdies ist es typisch, dass die Metapher für ein rein sprachliches Phänomen gehalten wird — also eine Frage der Worte und nicht des Denkens oder Handelns ist. Aus diesem Grunde glauben die meisten Menschen, sehr gut ohne Metapher auskommen zu können. Wir haben dagegen festgestellt, dass die Metapher unser Alltagsleben durchdringt, und zwar nicht nur unsere Sprache, sondern auch unser Denken und Handeln. Unser alltägliches Konzeptsystem, nach dem wir sowohl denken als auch handeln, ist im Kern und grundsätzlich metaphorisch (Lakoff, Johnson 1999a).

Das Kernstück der von Lakoff führend vertretenen kognitiven Linguistik besteht also in der Auffassung, dass Metaphern ihrem Wesen nach konzeptuell, d. h. zentraler Bestandteil menschlichen Verstehens und Denkens, sind. Deshalb sprechen die Autoren von konzeptueller Metapher. Buchholz unterscheidet zum besseren Verständnis manifeste und konzeptuelle Metaphern. Eine manifeste Metapher wäre z. B. die Aussage „Der Mensch ist ein Wolf'.

Um konzeptuelle Metaphern handelt es sich, wenn wir Sätze sprechen wie: „Du bist so kalt zu mir", „Das Eis zwischen ihnen ist gebrochen", „Ich kann mich nicht für ihn erwärmen" usw. Die Wörter mögen verschieden sein: kalt, Eis, warm; die konzeptionelle Beziehung bleibt die gleiche: Wir verstehen Zuneigung in Begriffen physikalischer Wärme, Abneigung als physikalische Kälte.

Oder wir hören in den Nachrichten: Der Dollar steigt. Würden wir den Satz wörtlich-begrifflich nehmen, wäre das Gemeinte nicht zu verstehen. Das Verständnis basiert auf der in jedem von uns vorhandenen Imagination: Oben ist mehr. Auch das ist eine konzeptuelle Metapher: Oben ist Mehr. Sie basiert auf frühen sinnlich-anschaulichen Erfahrungen, die wir alle als Kinder machen. Beispiele: füllt man Wasser in ein Glas, steigt der Wasserspiegel nach oben; Kinder werden älter und dabei größer, richten sich vom Krabbeln zum aufrechten Gang auf (vgl. Buchholz, von Kleist 1997, 57).

Weitere Beispiele für konzeptuelle Metaphern: Schwierigkeiten werden als Last begriffen: die Verantwortung kann erdrücken, jemand ist überlastet etc.

Organisatorische Strukturen werden als physikalische Strukturen konzeptualisiert: Wir sprechen z. B. von einem lückenlosen Plan, in dem alles gut zusammenpasst, von Löchern in einer Theorie, vom Aufbau einer Gesellschaft, die es zu entwirren gilt.

Bei der Verwendung solcher konzeptueller Metaphern wird jeweils die Logik eines Ursprungsbereiches auf den Zielbereich übertragen. Betrachten wir noch die in der westlichen Welt sehr gebräuchliche Metapher Liebe ist Partnerschaft: Der Ursprungsbereich ist „Geschäftsleben", der Zielbereich „Liebe". Die Liebenden sind Partner, die Liebesbeziehung eine Partnerschaft. Aus der ökonomischen Partnerschaft kann Reichtum erwachsen, aus der Liebespartnerschaft Wohlfühlen, wie von einem Geschäft kann man von der Liebe profitieren, aber wie in ein Geschäft muss man auch in die Liebe Arbeit investieren. Arbeit und Profit aus der Partnerschaft können dann in der Liebe genau wie in einer geschäftlichen Partnerschaft geteilt werden.

Wie schauen nun die konzeptuellen Metaphern aus, die wir verwenden, um über die primitiven angeborenen mathematischen Operationen hinaus zu kommen? Als Beispiele möchte ich die vier grundlegenden Metaphern vorstellen, die die Autoren beschreiben; vier grundlegende Metaphern, die aus unterschiedlichen Herkunftsbereichen alltäglicher sensomotorischer Erfahrung auf die Arithmetik übertragen werden.

Die grundlegendste, uns am simpelsten und selbstverständlichsten vorkommende lautet: Arithmetik ist das Sammeln von Objekten.

Jeder Mathematikunterricht setzt diese unbewusste Metapher voraus, die wir sehr früh lernen: Eine Ansammlung von Objekten ergibt eine Zahl. Die Größe der Ansammlung entspricht der Größe der Zahl. Eine umfangreichere Ansammlung ergibt eine größere Zahl, eine kleinere eine geringere Zahl. Die kleinste Ansammlung entspricht der Einheit in der Arithmetik, der Zahl 1. Geben wir Ansammlungen zusammen, so addieren wir, nehmen wir eine kleinere Ansammlung von einer größeren weg, so subtrahieren wir.

Die körperliche Wahrheit, die wir im Gruppieren von Objekten erfahren, wird so eine mathematische Wahrheit über Zahlen. Grundlegende Eigenschaften mathematischer Operationen wie z. B. Assoziativgesetz (a + b = b + a) und Kommunitativgesetz [a + (b + c) (a + b) + c] ergeben sich direkt daraus.

Die zweite dieser vier grundlegenden Metaphern lautet: Arithmetik ist die Konstruktion von Objekten. Betrachten wir mathematische Gemeinplätze wie: „Wenn man 2 und 2 zusammen gibt, bekommt man 4"; „5 besteht aus 3 plus 2"; „man kann 28 in 7 mal 4 zerlegen". Wenn wir so etwas sagen, denken wir Zahlen als Ganze, die aus Teilen bestehen. Die Teile sind andere Zahlen. [...]

Diese Metapher bringt eine wichtige Wahrheit über Objekte in die Mathematik mit: Wenn man ein Einheitsobjekt in n Teile teilt und diese n Teile wieder zusammensetzt, bekommt man wieder das Einheitsobjekt. Wenn man 1 durch n dividiert und dann mit n multipliziert, so ist das Resultat wieder 1. Also: 1/n . n = 1, anders ausgedrückt: 1/n ist die inverse Zahl für n in der Multiplikation.

Die dritte grundlegende Metapher ist die Maßstab-Metapher. Die älteste Methode, ein Gebäude zu planen, besteht darin, einen Maßstab oder ein Maßband anzulegen, mit dem Stab oder dem Band als Einheit. Eine Distanz kann gemessen werden, indem man den Stab oder das Band mit Einheitslänge, also ein physikalisches Segment (z. B. Fuß oder Elle), Ende an Ende auflegt und zählt, wie oft man dies gemacht hat. Physikalische Segmente von beliebiger endlicher Länge entsprechen dann einer Zahl. Das grundlegende physikalische Segment entspricht der Eins, die Länge des beliebigen Segments der Größe einer Zahl, einer rationalen Zahl wohlgemerkt. Addieren bedeutet in dieser Metapher, physikalische Segmente Ende an Ende zusammenzulegen, um längere Segmente zu formen. Kürzere Segmente von längeren wegnehmen bedeutet Subtraktion usw. [...]

Die vierte grundlegende Metapher: Arithmetik als Bewegung entlang eines Pfades.

Wenn wir uns auf einer geraden Linie von einem Ort zum anderen bewegen, formt der Pfad unserer Bewegung ein physikalisches Segment – eine vorgestellte Linie, die die Bewegungsbahn nachzeichnet. Der Beginn der Bewegung korrespondiert mit dem einen Ende des physikalischen Segmentes, der Endpunkt der Bewegung mit dem anderen Ende. Der Pfad der Bewegung korrespondiert mit dem Rest des physikalischen Segmentes.

In der Metapher „Arithmetik ist Bewegung auf einem Pfad" entsprechen die Bewegungen den mathematischen Operationen. Der Ursprung, der Beginn der Bewegung, entspricht der Null, Punkte auf dem Pfad sind Zahlen, Eins entspricht einer Einheits-Punkt-Verortung verschieden von Null usw.

In vielem entspricht diese Metapher der Maßstab-Metapher – mit einem großen Unterschied: In allen anderen Metaphern muss man weitere metaphorische Kreationen erstellen, um die Null zu bekommen. Hier ist Null der Ursprung, also eine Punktlokation wie die anderen Zahlen auch. Das ermöglicht eine natürliche Ausdehnung zu negativen Zahlen. Man lässt den Ursprung irgendwo auf dem Pfad sein; bewegt man sich auf die andere Seite von Null, so hat man spiegelbildlich zu den positiven Zahlen die negativen. Diese Erweiterung wurde erst in der zweiten Hälfte des 16. Jahrhunderts gemacht, mit der hier beschriebenen Metapher, dass alle Zahlen, positive, negative und die Null, Punkte auf einer Linie sind.

Heute ist uns die Sprache der Bewegung im Zusammenhang mit Zahlen so selbstverständlich, dass wir uns kaum vorstellen können, dass sie einmal nicht existierte oder akzeptiert wurde: Zähle bis 100, beginne bei 20, zähle zurück, Zahlen sind einander nahe oder weit entfernt.

Die vier Grundmetaphern beinhalten verschiedene metaphorische Charakterisierungen und damit auch unterschiedliche symbolische Bedeutungen von Null und Eins. In der Alltagssprache kann Null die Leere, bzw. das Nichts (leere Ansammlung), das Fehlen bzw. Nicht-Vorhandensein, die Zerstörung (Konstruktions-Metapher), äußerste Kleinheit (Maßstab-Metapher) und Ursprung (Bewegungsmetapher) bedeuten. Die Eins kann Individualität und Getrenntheit, Ganzheit, Einheit und Vollständigkeit, die Norm bzw. den Standard (am Maßstab) und den Beginn (der erste Schritt) symbolisieren.

Aber wie bereits erwähnt ist die Mathematik nicht nur über die unbewussten konzeptuellen Mechanismen der Metapher und der Verschmelzung in unseren Körpern verankert. Noch unmittelbarer ist die Verbindung zum Körper in Schemata der Vorstellung und der Bewegungskontrolle.

Unter Vorstellungsschemata (engl.: „image schemas") verstehen die Autoren primitive Konzepte räumlicher Beziehungen. Ein Vorstellungsschema mit großer Bedeutung für die Mathematik ist z. B. das Gefäß-Schema, englisch „container schema". Es ist durch drei Elemente charakterisiert: einem Innen, eine Grenze und einem Außen. Die Erfahrungen, auf denen es beruht, werden in „Leben in Metaphern" so beschrieben:

Wir sind Wesen mit einer Physis, wir haben äußere Begrenzungen und sind durch die Hautoberfläche von der übrigen Welt getrennt; wir erfahren die übrige Welt als etwas, das uns äußerlich ist. Jeder Mensch ist ein Gefäß mit einer begrenzenden Oberfläche und einer Innen-Außen-Orientierung. Wir projizieren unsere eigene Innen-Außen-Orientierung auf andere physische Objekte, die durch Oberflächen begrenzt sind. Folglich betrachten wir diese Objekte auch als Gefäße mit einer Innenseite und einer Außenseite. Zimmer und Häuser sind eindeutig Gefäße. Von einem Zimmer ins andere gehen heißt von einem Gefäß ins andere gehen, d. h. aus einem Zimmer herausgehen und in ein anderes Zimmer hineingehen. (Lakoff, Johnson 1999a, 39) [...]

Schemata der Bewegungskontrolle (engl.: „aspectual schemas"):

Die Struktur, denen Bewegungsabläufe gehorchen, ist sehr einheitlich: Bevor man mit einer körperlichen Aktion beginnt, braucht es bestimmte Bedingungen von Bereitschaft bzw. Eingangsbedingungen, z. B. eine Pause, Aufhören mit etwas anderem, wissen, wo und in welcher Körperhaltung wir uns befinden. Dann beginnen wir uns zu bewegen, setzen also einen Anfang. Ist der Hauptteil der Handlung in Gang, kann es zu Unterbrechungen und Wiederaufnahmen kommen. Wenn der Hauptteil der Aktion durchgeführt ist, kann man sie wiederholen bzw. den Prozess fortsetzen. Schließlich folgt, was zu tun ist, um den Ablauf zu beenden. Danach befindet sich die Aktion in einem Endzustand mit Resultaten und Konsequenzen.

Diese Struktur der Steuerung und Kontrolle von Bewegungsabläufen findet sich laut Lakoff auch weltweit in der Grammatik von Sprachen. Alles, was wir als Handlung oder Ereignis wahrnehmen oder denken, hat diese Struktur: Eingangsbedingungen – Anfang – Hauptteil – mögliche Unterbrechungen und Wiederholungen – Abschluss – Endzustand.

In der Linguistik wird diese Struktur englisch „aspect schema" genannt. Ich habe keine treffende Übersetzung von „aspect" gefunden, am ehesten noch „Gestalt", also Gestalt einer Handlung oder eines Ereignisses.

Von der Logik, die diesem Ablaufschema körperlicher Aktionen inhärent ist, sind für die weitere Argumentation die Punkte des Abschließens und des Endzustandes wichtig.

Zwei Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Punkten:

- die Stufe des Abschlusses erfolgt später als irgendeine andere Stufe im Ablauf des Prozesses.

- Es gibt keinen Punkt im Ablauf über den Abschluss des Prozesses hinaus.

Diese zwei Schlussfolgerungen aus dem Ablauf körperlicher Aktionen verwenden die Autoren für die aus meiner Sicht gewagteste Hypothese des Buches, ihr Husarenstück sozusagen: Das Schema der Bewegungskontrolle habe für die Art, wie Mathematik Unendlichkeit konzipiert, entscheidende Bedeutung.»

[Oberlehner, Franz: “Auch das abstrakt denkende Ich ist ein körperliches: Die sinnlich-körperlichen Bausteine der Mathematik”. In: Texte. Psychoanalyse, Ästhetik, Kulturkritik, Heft 4 / 2004, 24. Jahrgang, S. 41-60]

“Los pitagóricos consideraban la matemática como la ciencia. Esto es comprensible sis e piensa que la matemática era para ellos la ciencia de los números y de las figuras geométricas consideradas a su vez vomo la esencia de la realidad. Estas concepciones pitagóricas ejercieron gran influencia, especialmente en el mundo antiguo y durante el Renacimiento. [...]

La idea de que – predominante durante mucho tiempo – según la cual la matemática es la ciencia de la cantidad, no puede mantenerse. En efecto, hay disciplinas matemáticas, como la topología, que no se ocupan de la cantidad. Por este motivo se ha intentado encontrar un concepto más general para definir el contenido de la matemática: es el concepto de orden.

Sobre la naturaleza de los entes matemáticos hay muchas discusiones, aun tomando la expresión ‘entes matemáticos’ en un sentido neutral, equivalente a ‘aquello de que se ocupa la matemática’. Entre las posiciones adoptadas sobre este problema mencionaremos siete:

a)     el realismo;

b)     el conceptualismo;

c)      el nominalismo;

d)     el apriorismo;

e)     el empirismo;

f)       el objetivismo y

g)     el «existencialismo».

Las posiciones (a), (b) y (c) consideran el problema de la naturaleza de los entes matemáticos de acuerdo con la teoría de los universales. Suponen, en efecto, que tales entes son ideas generales cuyo status ontológico debe determinarse. Según la posición (a), los entes matemáticos existen antes de las cosas; tienen, pues, una realidad metafísica (u ontológica). Por eso tal posición es llamada también de platonismo, aunque debe tenerse presente que no coincide con la doctrina del propio Platón, el cual consideraba con frecuencia que los entes matemáticos son análogos a las ideas, mas no se confunden con las ideas: son intermediarios entre la realidad sensible y la inteligible. Según la posición (b), los entes matemáticos tienen existencia solamente en tanto que poseen fundamento en la realidad, fundamentum in re; son, pues, conceptos, pero no meras producciones de nuestra mente. Según la posición (c), los entes matemáticos son solamente nombres, adoptados por convención y aplicables a la realidad por cuanto son en sí mismos vacíos de contenido.

Las posiciones (d) y (e) consideran el problema en cuestión desde el punto de vista del origen de nuestros conceptos matemáticos. Según la posición (d), los entes matemáticos son concepciones innatas, completamente independientes de la experiencia, aunque aplicables a ella. Según la posición (e), los entes matemáticos son obtenidos por medio de abstracciones efectuadas a partir de la experiencia; son, por así decirlo, idealizaciones máximas de nuestras percepciones sensibles.

Las posiciones (f) y (g) consideran de nuevo el problema desde el punto de vista ontológico, pero sin comprometerse a adoptar al respecto (por difícil que ello sea) una teoría de los universales. Según la posición (f), los entes matemáticos no existen, sino que «subsisten» o «consisten»; su modo de ser es el del objeto ideal. Según la posición (g), hay que distinguir entre el pensamiento matemático y el objeto del pensamiento matemático. La atención preponderante hacia el primero da origen a un formalismo; la atención preponderante hacia el último permite sostener una fundamentación existencial del intuicionismo. La posición (f) ha sido defendida, entre otros, por Meinong. La posición (g), por Oscar Becker, siguiendo algunas indicaciones de Heidegger.

La fundamentación de la matemática ha dado origen también a muchas discusiones, de las que han emergido tres posiciones distintas: el logicismo, el formalismo y el intuicionismo:

Para el logicismo, desarrollado por Frege y luego por Peano, Russell y Whitehead, la matemática se reduce a la lógica.

Para el formalismo, defendido por David Hilbert, la matemática puede formalizarse por completo; el método adecuado a tal efecto consiste en probar la no contradicción de las teorías matemáticas y de todos los sistemas logísticos apropiados a ellas.

Para el intuicionismo, defendido, entre otros, por L. E. J. Brouwer y Arend Heyting, puede hablarse de entes matemáticos solamente si podemos construirlos mentalmente.

Cada una de estas posiciones choca con dificultades preculiares: el logicismo encuentra muy difícil situar toda la matemática dentro del marco de la lógica; el formalismo – calificado también de axiomatismo – toca con los obstáculos derivados de las consecuencias de la prueba de Gödel [Gödelsatz]; el intuicionismo se ve precisado a cercenar una buena parte de las teorías matemáticas de sus construcciones, sobre todo cuando, adoptando la doctrina de G. F. C. Griss, concibe que hay entes matemáticos solamente cuando son efectivamente construidos mentalmente. Cada una de estas posiciones, por otro lado, ha alcanzado grandes triunfos y ha impulsado grandemente el progreso en matemática. No puede predecirse qué teoría triunfará definitivamente; lo más probable es que hay que mantener las partes más fecundas de cada una de ellas. Debe observarse que en todas estas teorías, incluyendo la intuicionista, se tiende a la formalización máxima de las operaciones matemáticas; es un error por tanto, interpretar ciertos resultados de la matemática contemporánea como un apartamiento de esta vía.

La cuestiónd e la relación entre la matemática y las demás ciencias es muy compleja. En todo caso, se han manifestado al respecto diversas opiniones. Para algunos, la matemática es la lengua universal de todas las ciencias. [...] Para otros, la matemática se aplica a las ciencias en grado decreciente de intensidad desde la física, completamente matizado, hasta la historia, donde la matemática desempeña un papel modesto o nulo. [...]

Lo más plausible en el problema de la relación entre la matemática y la ciencia es adoptar el punto de vista de que la matemática es definible de algún modo como un lenguaje y que, por consiguiente, su relación con otras ciencias consiste, a la postre, en la relación que exista, o pueda existir, entre el lenguaje matemático y el de otras ciencias. 

El problema de la «relación de la matemática con la realidad» es en gran parte reducible al anterior. [...] Dos citas al respecto son iluminativas. Una de Henri Poincaré y reza: «La posibilidad misma de la ciencia matemática parece una contradicción insoluble. Si esta ciencia sólo es deductiva, ¿de dónde le viene este perfecto rigor que nadie piensa poner en duda? Si, por el contrario, todas las proposiciones que enuncia pueden deducirse unas de otras por medio de las reglas de la lógica formal, ¿cómo no se reduce la matemática a una tautología inmensa?» [...] Esta cita se refiere a la cuestión del rigor y certeza de las proposiciones matemáticas. Este rigor y esta certeza se transfieren a los fenómenos mismos descritos matemáticamente. La otra cita procede de Einstein: «En la medida en que las proposiciones matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas, no son reales.» Varias soluciones se han propuesto para resolver estas dificultades:

  1. la matemática puede aplicarse a la realidad, porque ella misma no dice nada; es como un marco vacío dentro del cual cabe todo;
  2. la matemática puede aplicarse a la realidad, porque resulta empíricamente de un examen de lo real;
  3. la matemática puede aplicarse a la realidad, porque, como suponía Kant, los juicios matemáticos son juicios sintéticos a priori;
  4. la matemática puede aplicarse a la realidad, porque ésta es de índole matemática.

La solución (1) es un extremo formalismo; la solución (2), un empirismo; la solución (3) un apriorismo transcendental; la solución (4) una forma de pitagorismo. Terminamos de este modo por el mismo tema con que habíamos iniciado este artículo: el tema de la naturaleza matemática de lo real.”

[Ferrater Mora, J.: Diccionario de filosofía. Buenos Aires: Ed. Sudamericana, 51969, Vol. 2, pp. 148-159]

„De este desplazamiento de la semiótica hacia la producción de la significación antes del signo surgen evidentemente una serie de interpretaciones. Ante todo, una consecuencia de cariz epistemológico. Si la semiótica, como la lingüística, nunca cejó en su empeño de establecer modelos de los sistemas representativos y si, procurando axiomatizarse, pidió en préstamo esos modelos a las ciencias formales – la lógica y el álgebra –, sus operaciones equivalían a abstraer, en un funcionamiento representativo, la forma del contenido. Sin embargo, la semiótica, al producir modelos de las prácticas significantes, no podía sino convertirse en objeto de esos modelos mismos (como sistemas significantes, a su vez), es decir, no podía sino elaborar una teoría del modelado. De este modo, la semiótica desbordaba la ciencia, concebida como representación en un modelo, entrando en la teoría de la producción de una representación. Ahora bien, con la significancia se da un paso más, puesto que se nos permite concebir la producción de sentido como, por definición, heterogénea a todo lo que es representable.

Esto acarreará una consecuencia para las relaciones entre la semiótica y las ciencias formales: »Todo el problema de la semiótica actual consiste, para nosotros, en esta alternativa: seguir formalizando los sistemas semióticos desde el punto de vista de la comunicación ... o bien abrir ... esa otra escena que es la producción de sentido interior al sentido« y procurar construir un nuevo tipo de problemática científica a partir de un nuevo tipo de objeto. Un formalismo isomorfo con respecto a la significancia sólo podría encontrar, así, modelos adecuados allí donde ya existe una »infiltración del pensamiento científico en el interior de lo no representable«; esencialmente, en las matemáticas. Por un lado, negativamente, puesto que también las matemáticas »escapan de las imposiciones de una lengua elaborada a partir de la frase indoeuropea sujeto-predicado«; puesto que, más generalmente, »el número no representa ni significa«. Y por el otro lado, positivamente, porque si todo »conjunto significante«, en lugar de representar un significado, »marca una repartición plural y contingente de la infinitud significante«, su función no podría ser mejor descrita que como »numérica«, partícipe del mismo »movimiento« de demarcación [»démarquage«] y de ordenación, del mismo proceso de refundición de un tejido significante por acumulación y corte, por combinación y remisión. »El significante textual es un numerante«. Es preciso tener una idea muy clara acerca de lo que es el número, lejos de toda contaminación por el signo: es un »objeto« no producido por nada exterior a la marca que lo instituye: »infinitud que se muestra marcándose«, el número es una significancia diferenciada que se actualiza. [...]

Ha de advertirse que es con el mismo impulso como J. Kristeva, proponiéndose una axiomatización matemática de la semiótica, sigue a las matemáticas mismas en su último movimiento, más allá de lo representable – allí donde la construcción dinámica de la pluralidad se opera en su sola designación –, y al integrar la práctica textual en el conjunto de las prácticas sociales significantes, convoca al marxismo para pensar el trabajo más acá de su representación en el intercambio. [...]

J. Kristeva ha procurado mostrar el carácter dialéctico de la lógica que gobierna las prácticas significantes. Frente a la lógica formal, lógica de lo homogéneo (así como la lógica de la expresión), la »lógica de la producción de los sistemas significantes« sólo puede ser una lógica de la contradicción. Por un lado, esto debe entenderse a partir de la idea de que el lenguaje »poético« (o el texto) es aquel en que »la contradicción se extrema hasta representarse como ley de (su) funcionamiento«; de allí la apertura infinita de tal lenguaje, presa del trabajo: »el texto sería el retorno del concepto a la contradicción como infinitud y/o fundamento«; en suma, »la contradicción se revela como la matriz de toda significancia«. Pero esto debe entenderse por un paso a lo que determinan en última instancia las prácticas significantes, como relación necesaria del sentido con lo que le es heterogéneo: heterogeneidad, a partir de la cual se afirma el sentido (y con él, el sujeto, el entendimiento).“ 

[Ducrot, Oswald / Todorov, Tzvetan: Diccionario enciclopédico de las ciencias del lenguaje. Buenos Aires: Siglo XXI, 1974, pp. 404-407]

“El espacio geométrico es real con la misma realidad según la cual es real esta piedra. No es un mero concepto, pero es realidad libremente realizada: libreo pero real, real pero libre. Esta postulación postula por tanto que «la» realidad se realiza en tal contenido: se postula esta realización.

El modo matemático de esta postulación es lo que aquí llamo construcción. El espacio geométrico no es un sistema de conceptos objetivos, pero la construcción realiza postuladamente estos conceptos objetivos. Construir no es sólo hacer de algo término intencional e irreal (esto sería cuestión de simple contenido) sino que consiste en proyectar esto irreal del concepto sobre «la» realidad «según conceptos». Por tanto construcción es un modo de realización: es realizar según conceptos. [...]

Los conjuntos de Gödel y Cohen están construidos (en mi concepto de construcción) en la realidad física. Entonces la construcción misma no concierne formalmente a los conceptos, no es una construcción «conceptiva» sino que es una realización en «la» realidad física, pero «según conceptos»; dos cosas completamente distintas. Y en este sentido, todo objeto matemático está construido postuladamente. [...] Los objetos matemáticos tienen sus propiedades «de suyo» es decir son reales. Es que el objeto real postuladamente realizado según conceptos tiene, por estar realizado, más notas o propiedades que las definidas en su postulación. Por esto y sólo por eso es por lo que plantea problemas que pueden no ser resolubles con el sistema finito de axiomas y postulados que han definido su realización. Lo construido en «la» realidad es, por estar realizado, algo más que lo postulado al realizarlo. Es a mi modo de ver el alcance del teorema de Gödel. No se trata de una limitación intrínseca a las afirmaciones axiomáticas y postuladas en cuanto afirmaciones – es la interpretación usual de dicho teorema – sino de que deja al descubierto ante la inteligencia el carácter de realidad de lo construido según los axiomas y postulados en cuestión. Es pues no la insuficiencia intrínseca de un sistema de postulados, sino la radical originalidad de lo construido por ser real; una realidad que no se agota en lo que de ella se ha postulado. Este objeto no es una cosa real en y por sí misma como lo es esta piedra. Pero no es sólo lo que lo «real sería», sino lo que postulada y construidamente «es real». Es a mi juicio la interpretación del teorema de Gödel. Los juicios matemáticos son pues juicios de algo real, juicios de lo «real postulado». No son juicios acerca del «ser posible» sino juicios acerca de la «realidad postulada».

Esta conceptualización de la realidad matemática por construcción no es pues un axiomatismo formalista, pero tampoco es ni remotamente lo que se ha presentado como oposición rigurosa a este axiomatismo: el intuicionismo, sobre todo de Brouwer. Es el otro concepto de construcción [junto al de Gödel y Cohen] que hay que eliminar en este problema. Para el intuiciosmo, construir matemáticamente no es lo mismo que definir y construir conceptos. El intuicionismo rechaza la idea de que la matemática se funda en la lógica; una demostración que apela al principio lógico del tertio excluso no es para Brouwer una demostración matemática. La matemática no es un sistema de conceptos y de operaciones definidas. La operación, si ha de ser matemática, ha de ser operación ejecutada, por tanto operación compuesta de pasos finitos. Ciertamente la matemática no se ocupa únicamente de conjuntos finitos, se ocupa por ejemplo de los infinitos decimales que componen un número real. Es verdad que la matemática no puede ejecutar de hecho todas las operaciones necesarias para obtener un número irracional, porque los pasos que habría que dar habrían de ser infinitos. Pero sí puede darse, y se da, una ley o una regla para ir ejecutando las operaciones «indefinidamente». El objeto de la matemática serían, pues los conjuntos finitos como término de operaciones ejecutadas sobre ellos. El intuicionismo es radicalmente finitismo. [...] Lo esencial está en que el intuicionismo pretende oponerse al axiomatismo formalista oponiendo a las definiciones axiomáticas las operaciones ejecutada. Es en el fondo la puesta en marcha de aquella idea de Kronecker según la cual Dios creó el número y lo demás lo han creado los hombres. El número entero sería un dato de la intuición, y por consiguiente construir se reduciría en última instancia a contar lo dado. No basta con definir.

Pero esta conceptualización no es sostenible porque ni los conjuntos – por finitos que sean – son formalmente intuitivos, ni las operaciones ejecutadas sobre ellos constituyen lo radical de lo que yo entiendo por construcción matemática.

En primer lugar, el conjunto finito de Brouwer no es intuitivo. La intuición es la «visión» de algo dado inmediatamente, directamente, unitariamente. En la intuición tengo la diversidad cualitativa y cuantitativa de lo dado, pero nunca tengo un conjunto. No hay estrictos conjuntos intuitivos. Porque para tener un conjunto necesito considerar aisladamente, por así decirlo, los momentos de la diversidad intuitiva como «elementos». Sólo entonces su unidad constituye un conjunto. Conjunto matemático es siempre y sólo conjunto de elementos. Pero entonces es claro que ningún conjunto, ni tan siquiera siendo finito, es intuitivo. Porque la intuición no da sino «diversidad de momentos», pero jamás nos da «conjunto de elementos». Para tener un conjunto es necesario un acto ulterior de intelección que haga de los momentos elementos. Hace falta pues una construcción. El llamado conjunto finito, presuntamente dado en la intuición, no es sino la aplicación del conjunto ya construido intelectivamente a la diversidad de lo dado. Esta aplicación es justo una postulación: se postula que lo dado se resuelve en un conjunto. Por consiguiente, en estricto rigor no puede llamarse intuicionismo a la matemática de Brouwer. El conjunto de Brouwer no es intuitivo; es el contenido objetivo de un concepto de conjunto que se «aplica» a lo intuitivo.

En segundo lugar, la construcción misma del conjunto no es radicalmente un sistema de operaciones ejecutadas. Digo «radicalmente», porque la ejecución de operaciones no es lo primario de lo que yo he llamado construcción. El conjunto finito es contendio de conceptos objetivos [...] Finitos o no, los conjuntos de que se ocupa la matemática de Brouwer y las operaciones sobre ellos ejecutadas son conjuntos y operaciones conceptivas. Y por esto no son suficientes, a mi modo de ver, para fundamentar lo matemático: la matemática no trata de «conceptos objetivos» sino de «cosas que son así». Lo que yo entiendo por construcción es  algo distinto. Ciertamente no es una construcción de conceptos objetivos por mera definición, pero tampoco es una serie de operaciones ejecutadas en el sentido de Brouwer, porque estas operaciones de Brouwer son operaciones sobre conceptos objetivos. Y en este punto la matemática de Brouwer no difiere de la de Gödel y Cohen. A lo que yo me refiero es que construir no es ejecutar operaciones objetivas sino proyectar ante mi inteligencia ese contenido objetivo en «la» realidad física. Y esta realidad no está dada en intuición sino en aprehensión primordial de realidad; está dada impresivamente. Como esta realidad no tiene contenido determinado yo puedo proyectar libremente sobre ella el contenido de lo objetivamente construido operacionalmente. Y esto es la construcción. [...] El conjunto finito de Brouwer no sólo no es intuitivo, sino que es el resultado de una doble postulación: el postulado de que a lo intuitivamente dado es aplicable un conjunto de elementos, y el postulado de conferir a «la» realidad el contenido del concepto objetivo (operacionalmente construido) de conjunto. [...] En definitiva, estar construido: 1.° no es estar definido en el sentido de Gödel y Cohen, y 2.° no estar ejecutado en el sentido de Brouwer. [...]

La construcción matemática es siempre por tanto un acto de inteligencia sentiente. Y por tanto el objeto matemático tiene realidad postulada. No es un concepto objetivo de realidad sino que es realidad en concepto. Es, insisto, la realidad misma de cualquier cosa real sentientemente aprehendida pero con un contenido libremente construido en dicha realidad según conceptos. Lo postulado no son verdades lógicas ni operaciones ejecutadas, sino que es el contenido de lo real (ya definido o ejecutado) en construcción y por construcción postulada. [...] Los objetos de la matemática son «objetos reales», son objetos en la realidad, en esta misma realidad de las piedras o de los astros; la diferencia está en que los objetos matemáticos están postuladamente construidos en su contenido. La piedra es una realidad en y por sí misma; un espacio geométrico o un número irracional son realidad libremente postulada. Es usual llamar al objeto de la matemática «objeto ideal». Pero no hay objetos ideales; los objetos matemáticos son reales. Esto no significa que los objetos matemáticos existan como existen las piedras, pero la diferencia entre aquéllos y éstas concierne tan sólo al contenido, un contenido en el primer caso dado, libremente postulado en la realidad en el segundo. Por tanto los objetos matemáticos no tienen existencia ideal sino solamente existencia postulada, postulada pero en «la» realidad. Lo que sucede es que su contenido: 1.° estás construido, ya 2.° lo está según conceptos. Lo que tan impropiamente se llama ideal es lo real construido según conceptos. [...]

No se trata de que un espacio geométrico o un número irracional sean sentidos como se siente un color; esos objetos evidentemente no son sensibles. Se trata de que el modo de intelección de un número irracional o de un espacio geométrico es sentiente. Y lo es: 1.° porque se inteligen postuladamente en un campo de realidad, esto es en la formalidad dada en impresión de realidad, y 2.° porque su construcción misma no es mera conceptuación sino realización, es decir algo llevado a cabo sentientemente. Sin sentir lo matemático, no se puede construir la matemática. Aquí se toca con el dedo toda la diferencia entre inteligencia sensible e inteligencia sentiente. [...]

La propia ciencia matemática ha enunciado entre otras cosas dos teoremas cuya esencia, a mi modo de ver, es la anterioridad de la realidad sobre la verdad. El teorema de Gödel, según el cual lo construido por postulación tiene «de suyo» más propiedades que las formalmente postuladas, expresa que los postulado es realidad antes que verdad. Y el teorema (llamemos así a la teoría no cantoriana de conjuntos) de Cohen: los conjuntos no son sólo sistemas de elementos determinados por precisa postulación, sino que hay, antes de eso, conjuntos que él llama genéricos y que a mi modo de ver no son genéricos, sino que son la simple realización del conjunto, sin las propiedades específicas determinadas por la postulación. Las propiedades postuladas mismas son entonces reales antes que verdaderas. La especificación no es aquí una diferencia lógica sino una determinación real. Es la realidad del conjunto antes que la verdad axiomática postulada. A mi modo de ver, éste es el sentido esencial de los teoremas de Gödel y Cohen: la anterioridad de lo real sobre lo verdadero en la matemática.”

[Zubiri, Xavier: Inteligencia y logos. Madrid: Alianza Editorial, 1982, pp. 136-146]

“La idea, por muy irreal que sea, necesita realizar las propiedades definidas de una manera objetual. Uno pudiera pensar que, puesto que en esa realidad objetual no va a haber más propiedades que las definidas con mis conceptos, el averiguar la estructura de estos objetos va a ser cuestión de lógica discursiva. Pero las matemáticas demuestras que esto no es verdad. Por numeroso que sea el número de propiedades – si es infinito no hay cuestión – con que por un sistema determinado se concibe un ente matemático, ese sistema de propiedades me planteará problemas que no pueden ser resueltos con el sistema con que los he definido: es el teorema de Gödel. Es que uno ha realizado el intento de un objeto, y ese intento da una consistencia de realidad objetual, que transciende del ámbito con que yo me lo represento.

Lo mismo acontece con la imaginación. Ni las ideas son las cosas en que el hombre piensa, ni las imágenes son las imágenes que el hombre está imaginando. La idea y la imagen son algo que está a mis espalda, algo que no está visto por mí, algo con que veo de una manera intencional la realidad objetual que en ellas se me presenta. Las ideas se definen, las imágenes se describen. Pero hay por bajo algo más hondo: se realizan objetualmente.“

[Zubiri, X.: Sobre el hombre. Madrid: Alianza Edit., 1986, p. 649]

“La segunda estructura topológica del tiempo no es la continuidad sino la ordenación. Las tres partes – antes, ahora, después – tienen un cierto orden. Efectivamente, aunque no sea temporal sino espacial, en un continuo se puede siempre marcar dos puntos y decir cuál está antes y cuál está después. El continuo, desde este punto de vista, es ordenado. Se puede establecer una cierta estructura de ordenación de las partes. Y entonces, antes y después no significan antes y después en el tiempo; sino antes y después en la ordenación: decimos que un punto está estructuralmente después de otro, o antes que otro, pero no en el tiempo, sino en el sentido del orden. Es primero, es segundo, es tercero ... Lo cual no quiere decir que los puntos se sucedan en el tiempo. Es un concepto meramente ordinal. Esto no significa que el continuo, por ser siempre ordenable, pueda ser nunca «bien ordenado». Ese es un tema de matemáticas.

Durante unas horas fue célebre Zermelo con un célebre teorema suyo: el continuo puede ser bien ordenado. Entendiendo por conjunto bien ordenado aquel en que colocado un elemento se puede decir siempre cuál es el siguiente. Esto contradice el sentido común. En el continuo, por muy próximos que estén dos puntos, siempre hay un punto intermedio: no hay ningún punto que sea «inmediatamente» siguiente. Zermelo pretendió mediante un razonamiento de análisis transfinito que esto podía hacerse. Pero esto no ha tenido fortuna en matemática. Hay, pues, un orden de partes. Y esto del orden de las partes no lo digo por hacer un alarde de erudición matemática – sería absolutamente inconveniente –, sino por lo que inmediatamente sigue.

En tercer lugar – y aquí comienza una diferencia propia del tiempo – no solamente es una ordenación, sino una ordenación tal que en cada momento no existe más que una de esas partes; no existe más que el Presente. El pasado ha dejado de existir; el futuro todavía no existe. No existe más parte que una: el presente. Y cuando la ordenación de los elementos de una magnitud continua es tal que anterioridad y posterioridad en el orden significa que lo uno deja de ser lo que es para ser lo otro, entonces decimos que es un continuo fluente. Es una fluencia. Y la fluencia, contra lo que ha venido diciéndose desde Aristóteles, no es forzosamente un cambio.”

[Zubiri, Xavier: Estructura dinámica de la realidad. Madrid: Alianza Editorial, 1995, p. 285-286]

«La idea, por muy irreal que sea, necesita realizar las propiedades definidas de una manera objetual. Uno pudiera pensar que, puesto que en esa realidad objetual no va a haber más propiedades que las definidas con mis conceptos, el averiguar la estructura de estos objetos va a ser cuestión de lógica discursiva. Pero las matemáticas demuestras que esto no es verdad. Por numeroso que sea el número de propiedades – si es infinito no hay cuestión – con que por un sistema determinado se concibe un ente matemático, ese sistema de propiedades me planteará problemas que no pueden ser resueltos con el sistema con que los he definido: es el teorema de Gödel. Es que uno ha realizado el intento de un objeto, y ese intento da una consistencia de realidad objetual, que transciende del ámbito con que yo me lo represento.

Lo mismo acontece con la imaginación. Ni las ideas son las cosas en que el hombre piensa, ni las imágenes son las imágenes que el hombre está imaginando. La idea y la imagen son algo que está a mis espalda, algo que no está visto por mí, algo con que veo de una manera intencional la realidad objetual que en ellas se me presenta. Las ideas se definen, las imágenes se describen. Pero hay por bajo algo más hondo: se realizan objetualmente.»

[Zubiri, Xavier: Sobre el hombre. Madrid: Alianza Editorial, 1986, p. 649]

«Toda realidad está sentida por el hombre no solamente según el contenido concreto que esa realidad tiene en cada caso (una mesa, un color verde, un sonido, etc.), sino también según la formalidad de realidad; lo que estoy viendo es una mesa-real, un verde-real, un sonido-real, etc. Tanto es así, que el momento de realidad excede en cierto modo de aquello que es concretamente cada una de las cosas reales. Y se comprende. Porque el hombre, al percibir las cosas, está sucesivamente en ellas; sin embargo, no hay una estricta sucesión en eso que llamamos el momento de realidad. El hombre está de una vez por todas en el momento de realidad. Lo cual quiere decir que el momento de realidad, en la medida en que excede de aquello que es en cada caso real, constituye en una u otra forma un principio de orden transcendental; transciende, en efecto, de su contenido. En su virtud, el hombre puede construir de una manera libre –es el caso de la matemática– aquello que es irreal, pero que lo es en la realidad. La matemática no es irreal en el sentido de que es construcción de realidad, sino que es realidad en construcción; como las ficciones no son ficciones de realidad, sino que son realidad en ficción. El momento de realidad determina la libre construcción. Es un principio estructural porque determina libremente la definición de una estructura.»

[Zubiri, Xavier: Espacio. Tiempo. Materia. Madrid: Alianza Editorial, 1996, p. 132 ss.]

«El momento de realidad es ámbito, principio de libre construcción de las estructuras. Ahora vemos, efectivamente, lo que esto significa. Es el principio de libre construcción precisamente porque la realidad misma, en su carácter de ex, deja instalada a la inteligencia en la realidad en la cual ella puede concebir y construir justamente realidades con sus estructuras, incluso con estructuras distintas de aquellas que la realidad le da en las cosas percibidas.

En otra dimensión, es la forma como la inteligencia ha concebido las ficciones. La ficción no es ficción de realidad, sino realidad en ficción; la realidad misma, el carácter físico de realidad que yo aprehendo, pero con una estructura fantástica. La ficción es una forma de pensar fantástico, aquel pensar cuyo contenido es formalmente sentido, esto es, imaginado. La imagen es el contenido sentido de la fantasía. Pero es siempre un pensar que, por ser pensar, envuelve un momento de realidad. Este momento otorga al pensar fantástico una libertad de contenido sentido. En la matemática, el contenido del pensar es un abstracto inteligido, pero inteligido en el modo de realidad del ex. Por esto la matemática construye las estructuras geométricas (topológicas, afines, métricas) precisamente dentro de la libertad que le confiere un ex, el cual como modo de realidad, en cierto modo, transciende de las cosas que determinadamente están siendo; es un ex de tensidad. De ahí que este ex desempeñe precisamente la función de libertad intelectiva por la cual la inteligencia puede constituir una conjunción con estructuras distintas de aquellas que efectivamente le están dadas, esto es, modos nuevos de tensidad, todas las estructuras que enumeré anteriormente y otras muchas más.»

[Zubiri, Xavier: Espacio. Tiempo. Materia. Madrid: Alianza Editorial, 1996, p. 145-146]

«Dios pudo inventar la física, pero tuvo que aceptar la matemática.»

[Jorge Wagensberg: A más cómo, menos por qué. Barcelona: Tusquets, 2006, número 541]