LOGIK

Lógica

(Recop.) Justo Fernández López

 

Vgl.:

Rhetorik / Topik / Topik vs. Prädikation / Dialektik / Mathematik / Prädikation / Prädikat (logisches) / Argument / Enthymem / Aussagenlogik / Prädikatenlogik / Intensionale Logik / Logistik / Deontische Logik / Dialektische Logik / Modallogik / Mehrwertige Logik / Induktion – Deduktion / Frege, Gottlob / Modus ponens und  Modus tollens / Modus in der Philosophie / Syllogistik / Verstand – Vernunft

 

„Komme ich nicht immer mehr und mehr dahin zu sagen, dass die Logik sich am Schluss nicht beschreiben lasse? Du musst die Praxis der Sprache ansehen, dann siehst du sie.“

[Wittgenstein, L.: Über Gewissheit, 501. Werkausgabe Band 8. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1984, S. 220]

Inwiefern ist die Logik etwas Sublimes?

Denn es schien, dass ihr eine besondere Tiefe – allgemeine Bedeutung – zukomme. Sie liege, so schien es, am Grunde aller Wissenschaften. – Denn die logische Betrachtung erforscht das Wesen aller Dinge. Sie will den Dingen auf den Grund sehen, und soll sich nicht um das So oder So des tatsächlichen Geschehens kümmern. – Sie entspringt nicht einem Interesse für Tatsachen des Naturgeschehens, noch dem Bedürfnisse, kausale Zusammenhänge zu erfassen, sondern einem Streben, das Fundament, oder Wesen, alles Erfahrungsmäßigen zu verstehen. Nicht aber, als sollten wir dazu neue Tatsachen aufspüren: es ist vielmehr für unsere Untersuchung wesentlich, dass wir nichts Neues mit ihr lernen wollen. Wir wollen etwas verstehen, was schon offen vor unseren Augen liegt. Denn das scheinen wir, in irgendeinem Sinne, nicht zu verstehen.

Augustinus (Conf. XI/14): «quid es ergo tempus? si nemo ex me quaerat scio; si quaerenti explicare velim, nescio.» Dies könnte man nicht von einer Frage der Naturwissenschaft sagen (etwa der nach dem spezifischen Gewicht des Wasserstoffs). Das, was man weiß, wenn uns niemand fragt, aber nicht mehr weiß, wenn wir es erklären sollen, ist etwas, worauf man sich besinnen muss. (Und offenbar etwas, worauf man sich aus irgendeinem Grunde schwer besinnt.)

Es ist uns, als müssten wir die Erscheinungen durchschauen: unsere Untersuchung aber richtet sich nicht auf die Erscheinungen, sondern, wie man sagen könnte, auf die «Möglichkeiten» der Erscheinungen. Wir besinnen uns, heißt das, auf die Art der Aussagen, die wir über die Erscheinungen machen. Daher besinnt sich auch Augustinus auf die verschiedenen Aussagen, die man über die Dauer von Ereignissen, über die Vergangenheit, Gegenwart, oder Zukunft macht. (Dies sind natürlich nicht philosophische Aussagen über die Zeit, Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft.) Unsere Betrachtung ist daher eine grammatische. Und diese Betrachtung bringt Licht in unser Problem, indem sie Missverständnisse wegräumt. [...] Mache von ihnen lassen sich beseitigen, indem man eine Ausdrucksform durch eine andere ersetzt; dies kann man ein «Analysieren» unser Ausdrucksformen nennen, denn der Vorgang hat manchmal Ähnlichkeit mit einem Zerlegen.

Nun aber kann es den Anschein gewinnen, als gäbe es so etwas wie eine letzte Analyse unserer Sprachformen, also eine vollkommen zerlegte Form des Ausdrucks. D.h.: als seien unsere gebräuchlichen Ausdrucksformen, wesentlich, noch unanalysiert; als sei in ihnen etwas verborgen, was ans Licht zu befördern ist. Ist dies geschehen, so sei der Ausdruck damit vollkommen geklärt und unsre Aufgabe gelöst.

Man kann das auch so sagen: Wir beseitigen Missverständnisse, indem wir unsern Ausdruck exakter machen: aber es kann nun so scheinen, als ob wir einem bestimmten Zustand, der vollkommenen Exaktheit, zustreben; und als wäre das das eigentliche Ziel unserer Untersuchung.

Dies drückt sich aus in der Frage nach dem Wesen der Sprache, des Satzes, des Denkens. [...]

Je genauer wir die tatsächliche Sprache betrachten, desto stärker wir der Widerstreit zwischen ihr und unsrer Forderung. (Die Kristallreinheit der Logik hatte sich mir ja nicht ergeben; sondern sie war eine Forderung.) Der Widerstreit wird unerträglich; die Forderung droht nun, zu etwas Leerem zu werden. – Wir sind aufs Glatteis geraten, wo die Reibung fehlt, also die Bedingungen in gewissen Sinne ideal sind, aber wir eben deshalb auch nicht gehen können. Wir wollen gehen; dann brauchen wir die Reibung. Zurück zu den rauen Boden!

Wir erkennen, dass, was wir «Satz», «Sprache», nennen, nicht die formelle Einheit ist, die ich mir vorstellte, sondern die Familie mehr oder weniger miteinander verwandter Gebilde. – Was aber wird nun aus der Logik? Ihre Strenge scheint hier aus dem Leim zu gehen. – Verschwindet sie damit aber nicht ganz? – Denn wie kann die Logik ihre Strenge verlieren? Natürlich nicht dadurch, dass man ihr etwas von ihrer Strenge abhandelt. – Das Vorurteil der Kristallreinheit kann nur so beseitigt werden, dass wir unsere ganze Betrachtung drehen.

Die Philosophie der Logik redet in keinem andern Sinn von Sätzen und Wörtern, als wir es im gewöhnlichen Leben tun, wenn wir etwa sagen «hier steht ein chinesischer Satz aufgeschrieben», oder «nein, das sieht nur aus wie Schriftzeichen, ist aber ein Ornament» etc.

Wir reden von dem räumlichen und zeitlichen Phänomen der Sprache; nicht von einem unräumlichen und unzeitlichen Unding. Aber wir reden von ihr so, wie von den Figuren des Schachspiels, indem wir Spielregeln für sie angeben, nicht ihre physikalischen Eigenschaften beschreiben.

Die Frage «Was ist eigentlich ein Wort?» ist analog der «Was ist eine Schachfigur?».”

[Kenny, A.: Ludwig Wittgenstein – Ein Reader. Stuttgart: Reclam, 1996, S. 338-341]

„Die sehr allgemeine, abstrakte Bedeutung eines ‘verbo copulativo’ gibt Anlass dazu, das mit ihm verbundene (ad)nominale Element einfach als Prädikatskern zu betrachten, während der Kern eines ‘predicado verbal’ das Verb selbst ist. Dies setzt implizit die Annahme einer dreigliedrigen Struktur für die „oración copulativa“ (Subjekt + Kopula + Nominalprädikat) voraus. Eine solche Auffassung, die in der Logik auf die propositionale Struktur im allgemeinen übertragen wird konnte sich - besonders nach der energischen Ablehnung Bellos (1945: 45) - in der spanischen grammatischen Tradition nicht durchsetzen.“ [Cartagena / Gauger, 1989, S. 440]

Klassische Logik (auch: traditionelle Logik)

Die seit Aristoteles bis Ende des 19. Jh. dominierende Logik. Im Mittelpunkt des klassischen Logik steht die Syllogistik. [...] Der grundlegende Teil der Syllogistik beschäftigt sich mit den kategorischen Urteilen und dem kategorischen Syllogismus. Ein kategorisches Urteil ist ein Urteil, das nicht aus anderen Urteilen zusammengesetzt ist. Es verbindet zwei Begriffe, den Subjektbegriff (S) und den Prädikatenbegriff (P), mit Hilfe einer sog. Kopula (‚ist’ oder ‚sind’). Ein kategorisches Urteil kann entweder eine allgemeine Form haben, d. h. es kann alle S betreffen, oder eine besondere Form, d.h. es kann sich auf ein oder mehrere S beziehen. Es kann entweder bejahend oder verneinend sein. Demnach können wir vier verschiedene Formen von kategorischen Urteilen unterscheiden, die man traditionell mit den Buchstaben A, E, I und O bezeichnet:

A: «Alle S sind P» (allgemeine bejahende Urteilsform)

E: «Kein S ist P» (allgemeine verneinende Urteilsform)

I: «Einige S sind P» (besondere bejahende Urteilsform)

O: «Einige S sind nicht P» (besondere verneinende Urteilsform)

Die klassische Logik geht davon aus, dass alle unzusammengesetzten Behauptungen in einer dieser vier Formen wiedergegeben werden können. Zwischen diesen vier Formen kategorischer Urteile bestehen eine Reihe von logischen Beziehungen, die teilweise in dem sog. logischen Quadrat zusammengefasst werden können:

Zwei Urteile bilden einen kontradiktorischen Gegensatz, wenn beide weder zusammen wahr noch zusammen falsch sein können. A- und O-Urteile sowie E- und I-Urteile bilden jeweils kontradiktorische Gegensätze. Das bedeutet z.B., dass wir vom Urteil «Einige Philosophen sind nicht besonders intelligent» auf das Urteil «Es ist nicht wahr, dass alle Philosophen besonders intelligent sind» schließen können. Zwei Urteile bilden einen konträren Gegensatz, wenn sie zwar beide nicht wahr, wohl aber beide falsch sein können.  A- und E-Urteile sind unter der Voraussetzung, dass S tatsächlich mindestens ein Individuum bezeichnet, konträre Gegensätze. Zwei Urteile heißen subkonträre Gegensätze, wenn sie zwar beide nicht falsch, wohl aber beide wahr sein können. Unter der gleichen Voraussetzung wie vorher bilden I- und O-Urteile einen subkonträren Gegensatz. [...]

Es gibt insgesamt 256 (44) verschiedene Syllogismen. Von diesen anerkennt man heute nur 19 als gültig. In der Praxis ist es am einfachsten, die Gültigkeit eines Syllogismus mit Hilfe von Mengendiagrammen zu untersuchen. Hier bieten sich die Euler-Diagramme und die Venn-Diagramme. Im Venn-Diagramm werden drei Begriffe mit Hilfe von drei Kreisen abgebildet, die einander auf folgende Weise überschneiden:

Der Inhalt kann im Diagramm durch Schraffierungen von leeren Mengen oder durch das Anbringen eines Kreuzes in Bereichen, wo es mindestens ein Individuum gibt, angezeigt werden.

[Hügli, Anton/Lübcke, Poul (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 355-357]

„Bereits im Traktat [Wittgensteins Tractatus logico-philosophicus] war die Richtigkeit des logischen Denkens nicht auf das Gefühl der Evidenz begründet worden, sie wurde dort bereits als Faktum deklariert. Und dieses Faktum des logisch richtigen Denkens wurde seinerseits von der Sprache her begründet. Wittgenstein erklärte:

»Das Einleuchten, von dem Russell so viel sprach, kann nur dadurch in der Logik entbehrlich werden, dass die Sprache selbst jeden logischen Fehler verhindert. – Dass die Logik a priori ist, besteht darin, dass nicht unlogisch gedacht werden kann.« (5.4731)

Die Sprache kann logische Fehler verhindert, weil sie eine »logische Faktizität« darstellt, hinter die man nicht zurückgehen kann, und das heißt, die man in keiner Form durch Rückgriff auf ein Subjekt zu begründen vermag. Wittgensteins Ansatz im Tractatus, Sprache und Logik zusammenfallen zu lassen, wird also in den Philosophischen Untersuchungen zu der Idee der Sprachspiele radikalisiert. Sprachspiele stellen faktische Vorgänge dar, die, insofern sie richtig funktionieren, nur rein deskriptiv zu erfassen sind.

Man kann diesen Ansatz sehr schwer in Begriffen der philosophischen Tradition erfassen. Dass Wittgenstein durchaus das Verstehen des Vollzuges der Sprachspiele in Rechnung stellt, wird noch zu erörtern sein, aber der Charakter dieses Verstehens ist nicht vom geisteswissenschaftlichen und hermeneutischen Ansatz her zu erhellen, denn geisteswissenschaftliches und hermeneutisches Verstehen ist nur möglich als Bezug der Subjektivität, die sich selbst im Verstehen von Sachverhalten »mitversteht«. Angemessener wäre es vielleicht, den Begriff des Verstehens bei der Charakterisierung der Sprachspiele nicht in das Zentrum zu stellen, sondern Wittgensteins Ansatz behavioristisch auszulegen. [...] Wittgensteins Behaviorismus trägt aber stark »pragmatische« Züge. Sprache und Handeln gehören für den späteren Wittgensteins aufs engste zusammen.“

[Schulz, Walter: Wittgenstein. Die Negation der Philosophie. Stuttgart: Neske, 1967, S. 58-59]

Die formale (auch: mathematische oder symbolische) Logik ist erklärt als „die Theorie der formal gültigen Schlüsse“ (F. v. Kutschera). Als wichtigste logische Theorie seien hier aufgeführt:

1.  die Junktorenlogik (Aussagenlogik): Sie beschäftigt sich damit, wie aus ‘einfachen’ Aussagen durch  logische Verknüpfungszeichen (Junktoren) ‘komplexe’ (Aussagen) gebildet werden.

2.  die Quantorenlogik (Prädikatenlogik) dagegen beschäftigt sich mit der internen Struktur von ‘einfachen’, d. h. junktorenlogisch nicht zusammengesetzten Sätzen. Beziehen sich die Operatoren nur auf Gegenstandsvariable, so spricht man von ‘enger Quantorenlogik’ (‘Quantorenlogig der 1. Stufe, ‘Prädikatenlogik der 1. Stufe).

Auf logische Systeme wie die ‘deontische Logik’ (= die Logik der normativen („Soll-“) Beziehungen, die ‘modale Logik’ (= die Logik der (logischen) Notwendigkeit und Möglichkeit) und die ‘temporale Logik’ (oder ‘Wechsellogik’) (= die Logik des ‘zeitlichen’ Aspekts von Propositionen) kann hier nicht eingegangen werden.

Nach Ansicht von ‘generativen Semantikern’ wie J. D. McCawley und G. Lakoff liefert die formale Logik bei entsprechender Modifizierung ein adäquates System zur semantischen Repräsentation von Sätzen natürlicher Sprachen.“

[Welte, W.: Moderne Linguistik: Terminologie / Bibliographie, Bd. 1, S. 134-135]

Prädikat  (lat. praedicatum)

Das, was von dem Subjekt in einem Urteil ausgesagt wird.

1. In der traditionellen Logik Bezeichnung für einen Ausdruck oder Begriff, der den Platz des P. in einem Subjekt‑P.‑Urteil einnimmt und dem Subjekt entweder zu‑ oder abgesprochen wird. Derselbe Ausdruck kann P. in dem einen und Subjekt in einem anderen Urteil sein, z. B. <der Begriff Mensch> in den Aussagen: <Sokrates ist ein Mensch> und <Einige Menschen sind Philos.>.

2. In der modernen Logik und philos. Semantik Bezeichnung für einen unvollständigen Ausdruck, der durch die Entfernung eines oder mehrerer singulärer Ausdrücke aus einem Satz entsteht, der eine Behauptung darstellt. Man unterscheidet zwischen monadischen P. wie <... ist rothaarig> und polyadischen P. bzw. Relationsbezeichnungen wie: < ... rasiert ...> oder <... schuldet ...für ...>. In der Prädikatenlogik werden P. auch Satzfunktionen (engl. sentential function) genannt, da sie als Funktionen (eindeutige Zuordnungen) singulärer Ausdrücke (oder geordneter Gegenstandsmengen) zu Sätzen (oder Urteilen) aufgefasst werden können. P. werden durch große Buchstaben E, F, G, H symbolisiert, während die offenen Stellen mit Hilfe der Variablen x, y, z ... angegeben werden. So wird z. B. der Satz <Ole rasiert Ole> durch <Fxx> symbolisiert, und der Satz <Ole schuldet Peter 5DM für Fido> mit <Gxyzu>. P. werden in zwei Weisen zu Sätzen umgebildet, zum einen, indem man singuläre Ausdrücke in die offenen Stellen einsetzt, zum andern, indem man einen Quantor hinzufügt, der die freien Variablen bindet. So kann das Prädikat <Ole rasiert x> zu folgenden Sätzen umgebildet werden: <Ole rasiert Peter> und <($x) Ole rasiert x> (<Es gibt mindestens einen, den Ole rasiert>).“

[Hügli, A. / Lübcke, P. (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 470]

Prädikatenlogik (auch Quantifikationstheorie oder Funktionskalkül genannt)

In der modernen Logik Bezeichnung für die Theorie der Argumente und Schlussfolgerungen, deren Gültigkeit auf generalisierenden Ausdrücken wie <alle>, <keiner> und <einige> beruht. Die P. ist durch die Verwendung von Quantoren gekennzeichnet, wobei die Quantorvariablen in der P. erster Ordnung Individuen, in der P. zweiter oder noch höherer Ordnung verschiedene Typen von Eigenschaften als mögliche Werte haben.”

[Hügli, A. / Lübcke, P. (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 470]

Prädikatenlogik [Auch: Prädikatenkalkül, Quantorenlogik]

Teilgebiet der formalen Logik, in dem (aufbauend auf der Aussagenlogik, die die Bildung komplexer Sätze aus einfachen behandelt) die Struktur aussagenlogisch nicht zusammengesetzter Sätze untersucht wird; Theorie der Prädikate beliebiger Stufe oder Theorie der Quantifikation. Unterschieden wird zwischen einstelliger und mehrstelliger Prädikatenlogik sowie der Prädikatenlogik höherer Stufen. Für die Semantik der Prädikatenlogik ist der Begriff der Interpretation grundlegend, der ein Gegenstandsbereich zugeordnet wird.“ [Lewandowski, Th., S. 505]

Logik (von griech. Logos)

Philosophische Disziplin, allg. die Lehre vom Denken, nicht im Sinne einzelner psychischer Akte (wie nach dem Psychologismus), sondern im Sinn von Denkinhalten und ihren gesetzlichen (logischen) Beziehungen. Diese Beziehungengesetze können im einzelnen Denkakt befolgt (logisches Denken), aber auch außer acht gelassen werden (unlogisches Denken).

Es ist zu unterscheiden:

1.    die formale oder reine Logik, von Aristoteles begründet und zugleich im wesentlichen vollendet; sie teilt sich in Elementarlehre (vom Begriff, Urteil, Schluss) und Methodenlehre (von der Wissenschaft und ihrem Untersuchungs- und Beweisverfahren). Sie ist «formal», weil sie nur von den Formen handelt, in denen das logische Denken als «richtiges» geschieht, nicht aber davon, ob das in diesen Formen Gedachte (der «Gedanke») überhaupt dem Seienden selbst entspricht. Gleichwohl ist formale Logik bei Aristoteles nur die nachträglich abstrahierende Verselbständigung dessen, was ursprünglich nur ein Moment war in der Identität von Logik und Ontologie (die Ordnungsbeziehungen des Denkens sind in eins Gegliederheiten des Seins selbst).

2.   Sofern das Verhältnis von Sein und Denken, Seiendem und Gedachtem fragwürdig wird, tritt die materiale oder reale Logik auf als Lehre vom logischen Denken nicht nur als «richtigem», sondern im Sinn des gültigen Erkennens. Kant nennt eine erkenntniskritische Untersuchung über den Ursprung, d.h. die apriorische Ermöglichung, den Umfang und die Gültigkeit solcher Erkenntnisse transzendentale Logik. Wo der ursprüngliche Bezug des Denkens auf das Seiende nicht mehr gesehen wird, wandelt sich diese Logik zur Erkenntnistheorie.

Sowohl formale als auch materiale Logik verstehen unter dem «Denken» das Denken bzw. Erkennen des endlichen Seienden (bzw. Gegenstandes) als solchen und damit unter der logischen Gesetzlichkeit die des Verstandes. Wie aber Seiendes nicht nur in sich, sondern in Bezug steht zum Ganzen des Seins, so auch der auf das bedingte Einzelne gerichtete Verstand zu der dem unbedingten Ganzen zugewandten Vernunft.

Die Gesetzlichkeit dieses aus dem Zusammenspiel von Verstand und Vernunft ermöglichten Denkens untersucht

3.    die metaphysische Logik als Lehre vom wahren Erkennen des Wahren. Sie ist in Hegels dialektischer Logik zugleich Ontologie, sofern sie Sein und Vernunft damit die Gesetzlichkeit des Denkens und des Seinsgeschehens identisch setzt.

4.    Die mathematische oder symbolische Logik, früher auch Logistik genannt, sucht die rein formalen logischen Gesetze exakter als die formale Logik zu analysieren durch die axiomatische Deduktion dieser Gesetze aus möglichst wenigen Prinzipien rein logischer Natur unter strengster Ausklammerung jeden möglichen Bezugs auf außerlogische Realität. Darüber hinaus stellt diese Logik eine Verfeinerung und Weiterentwicklung der klassischen formalen Logik dar. Sie verwendet dazu den mathematischen ähnliche Symbole für die die logischen Beziehungen und ihre Relate und führt die Schlussfolgerungen rein formalistisch durch (daher auch formalisierte Logik), d.h. ohne Rücksicht auf bestimmte Bedeutungsinhalte und mit einer den mathematischen Grundoperationen ähnlichen rechnerischen Weise (Logikkalkül). Die darin beschlossene, unausdrücklich geforderte Denkökonomie, Eindeutigkeit und Effizienz im Entwurf der Kalküle verleiht der mathematischen Logik einen hohen Grad von Anwendbarkeit in Technik, Industrie, Verwaltung usw., wodurch sie sich mehr noch als die klassische Logik als ein «Organon» herausstellt, freilich weniger im Sinn der Selbsterhellung des Denkens denn als Instrument zur technischen Wirklichkeitsbewältigung. Angewandt wird die mathematische Logik u. a. zur Prüfung von Beweisführungen, zur mathematischen Grundlagenforschung, zur Sprachanalyse und zur Konstruktion programmgesteuerter Rechenmaschinen (Computer).

Bereits die Scholastik kannte fast alle Gesetze des Aussagenkalküls. Leibniz legte die Grundlagen zur modernen Logik. G. Boole (1815-1864) schuf den Klassenkalkül, G. Frege (1848-1925) den Aussagen- und Prädikatenkalkül, C. S. Peirce den Relationenkalkül, C. J. Lewis 1918 den Modalkalkül, J. Lukasiewicz und E. L. Post 1920 die mehrwertige Logik, die, im Unterschied zur klassischen Logik, mehr als nur zwei „Wahrheitswerte“ („wahr“ und „falsch“) eines Satzes annimmt.“

[Müller, M. / Halder, A.: Philosophisches Wörterbuch. Freiburg, Basel, Wien: Herder, 1988, S. 175-177]

Aus Wittgensteins Tractatus logico-philosophicus:

6.1       Die Sätze der Logik sind Tautologien.

6.11     Die Sätze der Logik sagen also nichts. (Sie sind die analytischen Sätze.)

6.111   Theorien, die einen Satz der Logik gehaltvoll erscheinen lassen, sind immer falsch. Man könnte z. B. glauben, dass die Worte „wahr“ und „falsch“ zwei Eigenschaften unter anderen Eigenschaften bezeichnen.

6.12    Dass die Sätze der Logik Tautologien sind, das zeigt die formalen - logischen - Eigenschaften der Sprache, der Welt. Dass ihre Bestandteile so verknüpft eine Tautologie ergeben, das charakterisiert die Logik ihrer Bestandteile.

6.121  Die Sätze der Logik demonstrieren die logischen Eigenschaften der Sätze, indem sie sie zu nichts sagenden Sätzen verbinden.

6.122  Daraus ergibt sich, dass wir auch ohne die logischen Sätzen auskommen können, da wir ja in einer entsprechenden Notation die formalen Eigenschaften der Sätze durch das bloße Ansehen dieser Sätze erkennen können.

„Die «Seinsfrage» als die Frage nach der Bedeutung des «ist» hat die Logik auf ihre Weise richtig und ausreichend beantwortet, wenn sie auch selbst nicht mehr fragt nach der Zeit als der Bedingung ihrer eigenen Möglichkeit.

Aber die Frage nach dem «Seyn» [im Sinne Heideggers], als der Offenheit (und Verborgenheit) des Seienden in der ursprünglichen Welt, das ist keine Frage, die die Logik beantworten könnte. Das heißt aber nicht, dass es nun hier nötig sei, die Logik zu bekämpfen, oder dass die Logik hier unnütz sei, im Gegenteil, aber gerade weil die logische Struktur nicht abhängt von Armut oder Reichtum der Welt, kann die Logik nicht helfen auf der Suche nach der ursprünglichen Welt.

Wenigstens nicht die formale Logik, vielleicht aber die transzendentale, das Wort im Sinne Kants verstanden.”

[Bröcker, Walter: “Heidegger und die Logik”. In: Philosophische Rundschau. 1. Jahrgang, Heft 1, 1953/54, S. 56]

Logik und Linguistik

„Bei Saussure ist das Unterscheidende zwischen zwei Zeichen, das die Grenze erzeugt: jedes Element ist die Grenze und das In-der-Schwebe-halten des anderen. Der Dualismus zwischen Wort und Ding ist eine andere Form derselben Grenze. Das Ding wird vermittels der Operationen der Universums- und der Ausnahmebildung negiert, und dadurch konstituiert sich die Sprache. Heute setzen die Linguisten eine reine Grenze, die das Extralinguistische darstellt, ohne darüber etwas weiteres auszusagen. Die singulären Elemente (Personalpronomina, Shifter, usw.) sind dabei diejenigen Elemente, die gleichzeitig die Niveauschichtung, die Teilung und den Dualismus des Sprachsystems in Frage stellen.

Bei den Logikern stellt sich die Frage anders als bei den Linguisten, denn sie verfügen nicht über ein empirisch vorgegebenes Universum. Die Grenze kommt hier durch die Struktur selbst, durch die Bildung von Metasprachen, bzw. «logischen», künstlichen Sprachen zustande. Es gibt dabei immer mindestens ein Element, das sich einer logischen Sprache entzieht und das ist die logische Sprache selbst. (Vgl. K. Gödel: “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, in: Monatsheft für Mathematik und Physik Bd. 38 (1931), Heft 1. Für Lacan ist der Satz «Es gibt keine Metasprache» äquivalent mit: «Es gibt Lalangue»).

Das wird verschieden aufgefasst. Der Versuch der zunehmenden Formalisierung von logischen Sprachen zwingt diese dazu, vor der natürlichen Sprache die Flucht zu ergreifen, was sich in der endlosen, hierarchischen Folge von Metasprachen äußert. Dieser Versuch hat aber auch immer eine kritische Intention, die bei aller Kritik am Formalismus nicht vergessen werden darf. Denn er destruiert nicht nur die Zweideutigkeit der natürlichen Sprache, sondern auch die imaginären Projektionen und Abschließungen, die diese ebenfalls enthalten, so dass eine logisch konstruierte Sprache ihre Legitimation immer in der Destruktion von Ideologie finden kann.

Die Linguisten befinden sich in einer anderen Situation: sie können immer innerhalb des Universums der Alltagssprache eine interne Grenze in der Unterscheidung korrekt-nicht korrekt finden. D. h. die Sprache, die als Universum eingeschrieben wird, verdinglicht sich zu einem Netz von Pflichten und Verboten (Untersagungen). Diese Verdinglichung ist in einem gewissen Maß unumgänglich, sollte nicht jeder Sinn «zerfließen». Die untersagte Redewendung ist eine paradoxe Formation, denn sie ist und ist nicht in der Sprache – sie wird untersagt, nur indem sie «möglich» ist, aber gleichzeitig soll sie das Unmögliche «repräsentieren». Das Paradoxon liegt darin, dass das, was unmöglich ist, überdies noch verboten wird. [...]

Das Indiz, dass in der Sprache etwas Reales existiert und dass sie nicht bloße Konvention ist, liegt in der Untersagung. Lacan formuliert das so: Alles kann nicht gesagt werden. Das Verbot, worin sich Sprache und Lalangue treffen, äußert sich im Moment des Aussagens.”

[Lipowatz, Thanos: Die Verleugnung des Politischen. Die Ethik des Symbolischen bei Jacques Lacan. Weinheim und Berlin: Quadriga Verlag, 1986, S. 41-43 ]

Lógica

Hay que distinguir tres clases de usos del término ’lógica’:

a)      un uso «recargado» – implicaciones ontológicas de la lógica, búsqueda de sus propias raíces en los rasgos más generales de la realidad o en las condiciones últimas del conocer humano: lógica «trascendental» de Kant, lógica de Hegel, lógica trascendental de Husserl;

b)      un uso técnico del vocablo – la lógica en sentido técnico es la lógica formal;

c)      un «uso profano» del término – es el uso que hacemos cuando hablamos de «la lógica» de las ciencias empíricas, o de «la lógica» de las relaciones de parentesco, o de «la lógica» del lenguaje ordinario. En esta acepción, ‘lógica’ quiere decir ‘estrategia’, o ‘método’, a veces ‘conjunto de presupuestos’, a veces ‘hilo conductor’, a veces simplemente ‘aplicación de la lógica en sentido técnico’, etcétera.”

[Deaño, Alfredo: „Lógicas no clásicas“. In: Quitanilla, M. A. (Hrg.): Diccionario de filosofía contemporánea. Salamanca: Sígueme, 1976, p. 260]

“Así pues, aunque en la práctica los cálculos se construyen a menudo pensando en sus posibles aplicaciones – o incluso en una aplicación concreta –, hay que señalar que, desde el punto de vista teórico, son absolutamente independientes del lenguaje o lenguajes formalizados que se puedan obtener interpretándolos.

Hay quienes piensan que la lógica es un conjunto de cálculos, o bien que la lógica es la teoría de la construcción de cálculos.

Nosotros entendemos la lógica como un conjunto de lenguajes formalizados, es decir, como un conjunto de cálculos a los que se da una interpretación en el campo de la investigación que – desde Aristóteles, por lo menos – constituye el objeto de la lógica. De entre todos los cálculos que podemos construir hay algunos que por su especial estructura y su bien rendimiento son particularmente aptos para ser aplicados a un ámbito específico de problemas, el ámbito de los problemas lógicos. La lógica, que durante más de veinte siglos ha consistido en una suma mal organizada de reflexiones acerca de las reglas formales del razonamiento, expresadas casi siempre en el lenguaje natural, constituye, en su forma contemporánea, la presentación formalizada de nuestro conocimiento acerca de ese determinado tema.”

[Deaño, Alfredo: Introducción a la lógica formal. 1. Lógica de enunciados. Madrid: Alianza Ed., 1975, p. 31]

“A la lógica no le basta con disponer de un vocabulario artificial. Le es necesaria la formalización. Formalizar un lenguaje es dictar – desde un metalenguaje, por supuesto – su estructura, su sintaxis. Ya hemos visto, en efecto, cómo en un lenguaje natural es posible construir expresiones que, siendo irreprochables desde el punto de vista sintáctico, carecen, sin embargo, de sentido. Se hace necesario, en consecuencia, «endurecer» las reglas – sintácticas – de formación, en evitación de que en los sistemas lógicos puedan filtrarse enunciados de esa naturaleza. Naturalmente, y como ya hemos insinuado, la creación literaria es posible justamente porque expresiones de este tipo son posibles. Y la existencia de sistemas lógicos en los que estas construcciones están proscritas ha de ser celebrada también en la medida en que es por respecto a ellos como la obra de los artistas del lenguaje adquiere su carácter irónico.

En resumen: la lógica se presenta en forma de cálculo: en forma de cálculo interpretado con nociones lógicas. En forma, pues, de lenguaje formalizado.

Con los cálculos lógicos cabe hacer dos cosas: usarlos, o mencionarlos; jugarlos, o establecer su reglamento; operar, sin más, con ellos, o bien someterlos a consideración como un todo. Esa reflexión sobre los cálculos – que podrá consistir, por ejemplo, en el estudio de si cumplen determinadas exigencias, o en el examen de su posibilidad de aplicación a un cierto campo de objetos – tiene lugar, naturalmente, en un plano lingüístico superior al del cálculo mismo. Hablar acerca del cálculo es hablar desde el metalenguaje de éste. Hablar – en un cierto código que veremos – del cálculo lógico es hacer Metalógica. Puesto que el metalenguaje por excelencia es la Semiótica, la Metalógica no será otra cosa que Semiótica lógica, organizada en sintaxis lógica, semántica lógica y pragmática lógica.

En general, y sobre la base de la distinción entre lenguajes artificiales y lenguajes naturales, habría que distinguir entre sintaxis, semántica y pragmática puras o formales, dedicadas al estudio de los diferentes lenguajes del primer tipo, y sintaxis, semántica y pragmática descriptivas o empíricas, cuyo objeto sería el análisis de los aspectos correspondientes de cada una de las diversas lenguas.”

[Deaño, Alfredo: Introducción a la lógica formal. 1. Lógica de enunciados. Madrid: Alianza Ed., 1975, p. 41-42]

Forma y contenido en la lógica

La verdad de las premisas sólo puede acarrear hereditariamente la verdad de la conclusión en una circunstancia: cuando es la sola forma de las premisas la que conduce a una conclusión de esa determinada forma; cuando el contenido concreto no desempeña ningún papel y es simplemente la estructura de las premisas – el modo como están conectadas unas con otras, y a veces también la articulación interna de cada una de ellas – la que impone como verdadera una conclusión con una determinada estructura.

Decir, pues, de un razonamiento que es «deductivamente válido» es tanto como decir que es «formalmente válido».

Distinguiendo entre contenido y forma de un razonamiento, la lógica formal – de ahí ese adjetivo que la califica – abstrae del contenido y retiene tan sólo la forma. Y se ocupa de estudiar aquellas formas de razonamiento, aquellos modos de argumentación, aquellos esquemas de inferencia que son válidos en cuanto tales (es decir, en virtud de su estructura, pues otra cosa no tienen).

En lo que acabamos de decir está implícita la razón de que la lógica utilice, en lugar del lenguaje ordinario, un lenguaje artificial, ese lenguaje simbólico que aturde a los aturdidos y sirve de instrumentos a los que no lo están. La lógica opera sobre la separación entre forma y contenido y la posterior retención de aquélla. Y es el caso que, en el lenguaje ordinario, forma y contenido se dan siempre juntos: cuando razonamos en el mundo – y no en una clase de lógica –, razonamos de una determinada forma y acerca de un determinado contenido. La forma no se da nunca aislada, sino incorporada siempre a una cierta materia. Por ello, si la lógica quiere operar sobre la pura forma, no puede hacerlo en el lenguaje ordinario: precisará un lenguaje artificial, especialmente construido para reflejar la forma lógica por separado. Por separado de todo contenido concreto, pero sin por ello olvidar que de hecho, en la práctica espontánea del razonamiento, esa forma aparece siempre dando forma a algún contenido. Dicho de otro modo: la forma prescinde – abstrae – de los contenidos concretos, no de la idea de contenido.”

[Deaño, Alfredo: „Lógicas no clásicas“. In: Quitanilla, M. A. (Hrg.): Diccionario de filosofía contemporánea. Salamanca: Sígueme, 1976, p. 263-264]

Lenguaje lógico

A grandes rasgos podemos decir que el lenguaje lógico consta de dos tipos de signos: los que representan la forma de los razonamientos, y los que aluden a su contenido, cualquiera que éste pueda ser. Es costumbre llamar a los primeros «constantes lógicas» y a los segundos «variables».”

[Deaño, Alfredo: „Lógicas no clásicas“. In: Quitanilla, M. A. (Hrg.): Diccionario de filosofía contemporánea. Salamanca: Sígueme, 1976, p. 264]

“La lógica podría entenderse como una descripción de la competencia de un sujeto razonante ideal. Aspira a constituir la formalización de los criterios a los que ese razonador se atendría. Intenta exhibir el sistema de reglas que permitirían a un ser humano lógico-formalmente puro construir razonamientos válidos o reconocer la validez de los que otros pudieran construir. Trata la lógica de elaborar el marco sistemático de referencia desde el cual se pueda decidir qué deducciones son válidas y qué otras no lo son, proporcionando un análisis formal de ellas.”

[Deaño, Alfredo: „Lógicas no clásicas“. In: Quitanilla, M. A. (Hrg.): Diccionario de filosofía contemporánea. Salamanca: Sígueme, 1976, p. 267]

Características de la lógica matemática o formal:

El desarrollo de la forma matemática de la lógica no ha concluido todavía, existiendo hasta hoy discusiones sobre su contenido peculiar, e incluso hasta sobre su mismo nombre. Se denomina «lógica matemática», «lógica simbólica», «logística», y a veces simplemente «lógica teorética». A parte de las discusiones filosóficas, no existe tampoco unanimidad de pareceres sobre las características específicas que la diferencian de las demás formas de la lógica. Con todo existe un tipo de escritos que pueden considerarse en general como «lógico-matemáticos». Si los analizamos advertimos que la forma de lógica en ellos contenida, se diferencia de todas las demás por dos rasgos distintivos relacionados entre sí.

(1)    En esta forma de la lógica se trata siempre de un cálculo, es decir, de un método formalístico, que consiste fundamentalmente en que las reglas de las operaciones se refieren a la forma de los signos y no a su sentido, exactamente igual que en matemáticas. Es verdad que el formalismo se ha empleado ya de vez en cuando en otras lógicas – sobre todo en la Escolástica –; pero ahora se ha convertido en un principio universal del método lógico.

(2)    Íntimamente relacionada con esto, viene una novedad profundamente revolucionaria. Todas las demás formas conocidas de lógica, se sirven de un método abstractivo: las proposiciones lógicas se obtienen del lenguaje natural mediante abstracción. Los lógicos matemáticos proceden de forma inversa: primer construyen un sistema puramente formal, y sólo después le buscan una interpretación en el lenguaje ordinario. Es verdad que este procedimiento no aparece siempre en toda su pureza, e incluso no es imposible encontrarle ciertas correspondencias en otras formas de la lógica. Pero en nuestro caso, este principio de construcción se ha sentado, al menos a partir de Boole, de una manera clara y consciente, manteniéndose en vigor en todo el dominio de la lógica matemática. A estos rasgos hay que añadir dos más:

(3)   Las leyes se formulan en lenguaje artificial, que consiste en símbolos semejantes a los matemáticos. La novedad está en que también las constantes se expresan por medio de signos artificiales; para las variables éstos se empleaban ya desde Aristóteles.

(4)    Finalmente, se caracteriza la lógica matemática hasta aproximadamente 1930, por formular proposiciones en lenguaje objeto, al contrario de la Escolástica, si bien de acuerdo en esto con la lógica antigua. Que esto no le es esencial a la lógica matemática, lo demuestran las novísimas orientaciones que han derivado cada vez más hacia formulaciones en metalenguaje. Con todo es característico del periodo que va hasta 1930, el empleo de lenguaje objeto.”

[Bochenski, I. M.: Historia de la Lógica formal. Madrid: Gredos, 1976, p. 281-282]

Desarrollo de la lógica formal

 

Lógica india

La escuela antigua y la escuela nueva

Lógica griega

Lógica aristotélica

Lógica megárico-estoica

Lógica escolástica

Lógica sentencial. Lógica de los términos.

Lógica tradicional

De Aristóteles a George Boole (1847)

Lógica «clásica»

Del Renacimiento a George Boole (1847)

Lógica matemática o simbólica (’Logística’)

A partir de G. Boole, De Morgan (1847), Gottlob Frege (1879), C. S. Peirce (1867), G. Peano (1888), B. Russell (1903), D. Hilbert (1904)

 

Lógica matemática clásica u ortodoxa

lógica matriz

puramente

asertórica

bivalente

[Uso del lenguaje en su función «apofántica», es decir, asertórica]

Lógica de enunciados o de proposiciones

Aussagenlogik

Lógica de predicados – o cuantificacional de primer orden 

 

 

Prädikatenlogik Quantorenlogik

Lógica de predicados – o cuantificacional de segundo orden 

Lógica de predicados – o cuantificacional de tercer orden 

Lógica de predicados – o cuantificacional de cuarto orden

 

Lógicas

no clásicas

especializadas,

divergentes,

tentaculares

polivalentes

[Lógicas de discursos no apofánticos (deóntico, erotético)]

 Lógica modal

Modallogik

Lógica deóntica

[una rama o desarrollo peculiar de la lógica modal]

Deontische Logik

Lógica intensional 

Intensionale Logik

Lógica inductiva

Induktive Logik

Lógica intuicionista

Intuitionistische Logik

Lógica trivalente

Dreiwertige Logik

Lógica polivalente

Mehrwertige Logik

[Justo Fernández López]

Lógica «clásica»

Se suele colocar el fin del periodo medieval de la Historia hacia el final del siglo XV. Lo cual no hay que entender en modo alguno como si la mentalidad típicamente escolástica no continuase en vigor posteriormente; antes bien, en los siglos XVI y XVII situamos justamente el afianzamiento de escuelas escolásticas de extraordinaria importancia, en el seno de las cuales se llevaron a efecto profundas y originales realizaciones intelectuales. Como prueba de ello basta con citar los nombres de Cayetano y Vitoria. Mas, a partir de dicho momento, no se dan ya en la Escolástica investigaciones sobre la Lógica formal: a lo sumo encontramos recapitulaciones de resultados anteriores.

Surge, por el contrario, algo completamente nuevo, a saber, la denominada Lógica «clásica». Dentro de este amplio movimiento, desarrollado durante casi cuatrocientos años en centenares de libros, se pueden distinguir tres tendencias diferentes:

(1)  el Humanismo (incluidos los pensadores del siglo XVII que, desde el punto de vista de la Lógica, enlazan con él), meramente negativo, una simple repulsa de la Escolástica;

(2)   la Lógica «clásica» en sentido estricto;

(3)   las nuevas tentativas para ampliar los límites de esta Lógica «clásica». L. Valla y Petrus Ramus, la Logique du Port Royal, y W. Hamilton pueden servir de representantes típicos de estas tres tendencias.”

    [Bochenski, I. M.: Historia de la Lógica formal. Madrid: Gredos, 1976, p. 272]

La historia de la lógica matemática puede dividirse en cuatro periodos:

1.      Prehistoria: De Leibniz a De Morgan (1847). En este periodo surgió la idea de Lógica matemática.

2.      El periodo de Boole, que va del Analysis de dicho autor, a las Vorlesungen (1895) de Schröder. Desarrollo progresivo de la primera forma de la Lógica matemática, que se diferencia de la posterior, sobre todo, en que sus representantes no hacen objeto de la investigación los métodos de las matemáticas, sino que los aplican sencillamente a la Lógica.

3.      El periodo de Frege, que va de su Begriffschrift (1879) a los Principia Mathematica de Whitehead y Russell (1910-1913). Durante este periodo, Peirce y Peano, al mismo tiempo que Frege, propusieron una nueva meta en la Lógica matemática: la fundamentación de las matemáticas. En él se desarrollan una serie de importantes conceptos y métodos lógicos. El periodo alcanza su culminación con los Principia, conclusión, por una parte, de la evolución anterior, y punto de partida, por otra, de la posterior. La fecundidad de esta última se debe principalmente al detallado tratamiento y solución al problema de las antinomias, que ya desde el s. XIX se había convertido en una cuestión candente.

4.      El periodo contemporáneo, que parte de los Principia y se encuentra todavía sin concluir. Este periodo podría, a su vez, subdividirse en dos secciones: la primera va aproximadamente de 1910 a 1930, y se caracteriza por la aparición de la Metalógica (finitista en Hilbert, y no finitista en Löwenheim y Skolem); la segunda, a partir aproximadamente de 1930, ofrece una sistematización formalista de la Metalógica, es decir, de la Metodología (Tarski), de la Sintaxis (Carnap), lo mismo que sistemas en los que se compendian Lógica y Metalógica (Gödel, Semántica de Tarski). A él pertenecen también las Lógicas «naturales» de Gentzen y Jaskowski (1934).

Se puede decir, por lo tanto, que lo que caracteriza en general al periodo que arranca de 1910, es el avance de la Metalógica. Aparecen además, durante el mismo, varios sistemas lógicos nuevos (construidos en lenguaje-objeto): el de Lewis (1918), las Lógicas polivalentes de E. Post y Lukasiewicz y la Lógica intuicionista de Heytings (1930). Citemos finalmente también, los sistemas profundamente originales de la Lógica combinatoria de Schönfinkel (1924), Curry (1930), Kleene (1934), Rosser (1935) y Church (1936-1941).

La sucesión cronológica entre estos grandes lógicos no implica nada sobre el influjo real. La evolución procedió tan rápidamente, sobre todo a partir de 1870, que las fechas de nacimiento y muerte de poco servirán, por eso hemos dado el año de aparición de las primeras obras.

[Bochenski, I. M.: Historia de la Lógica formal. Madrid: Gredos, 1976, p. 284-285]

Lógica de enunciados o proposiciones

En ella se cuenta con los medios para analizar formalmente aquellos razonamientos en cuya validez no intervienen más que las relaciones entre enunciados tomados como un todo, sin penetrar en sus interioridades.

Lógica de predicados de primer orden o lógica cuantificacional de primer orden

Se ocupa del análisis de aquellos razonamientos en cuya validez también desempeña un papel la estructura interna de los enunciados que los componen en cuanto esta estructura se anuda en torno a elementos de tres tipos: I. Expresiones que se refieren a individuos. II. Expresiones que designan o bien propiedades de individuos o bien relaciones entre ellos. III. Cuantificadores (aplicables solamente a elementos de tipo I). Cinco con los tipos fundamentales de signos de la lógica de predicados de primer orden: a) Variables de enunciado. b) Conectivas. c) Cuantificadores. d) Variables individuales. e) Variables predicativas.

Lógica de predicados – o cuantificacional – de segundo orden

Tendría a su cargo el análisis de aquellos razonamientos en cuyos enunciados aparezcan, amén de todos o algunos de los elementos detectados en los niveles anteriores, elementos de un nuevo tipo: IV. Expresiones que designan propiedades de propiedades de individuos, o relaciones entre relaciones. De seis tipos serán los signos del lenguaje lógico a este nivel. A los cinco anteriores había que añadir el tipo f) Variables predicativas de segundo orden (o variables de predicados de predicados). Aquí los cuantificadores aparecen aplicados no sólo a expresiones de tipo d, sino también expresiones de tipo e. Así, por ejemplo, un enunciado como:

Las cosas que son iguales tienen todas sus propiedades en común.

Sólo podría ser analizado adecuadamente en este tercer nivel del análisis lógico.

Lógica de predicados – o cuantificacional – de tercer orden

Nivel de análisis necesario para aquellos razonamientos en cuya validez intervengan elementos del siguiente nuevo tipo: V. Propiedades de propiedades de propiedades de individuos, o relaciones entre relaciones que se dan entre relaciones de individuos. Por ejemplo: ’ser blanco’ es una propiedad de individuo. ’Ser un color’ es una propiedad de propiedades de individuos (’el blanco es un color’).

A los seis tipos anteriores de signos hay que añadir el tipo g) Variables predicativas de tercer orden. Y los cuantificadores pueden aparecer aquí afentando a expresiones de tipo d), e) y f).

Lógica de predicados – o cuantificacional – de cuarto orden. Etcétera.

De ordinario suele hablarse, sin más, de «lógica de precidados de primer orden», y, como un todo, de «lógica de predicados de orden superior», que integra a todas las lógicas de predicados de orden n cuando n es mayor que 1.

Repárese, por otra parte, en que los distintos niveles de la lógic no están aislados entre sí. Cada uno de ellos constituye una ampliación del anterior, una subsunción de éste en un sistema de mayor alcance analítico, una instalación del análisis lógico en un plano de mayor extensión y profundidad.”  

[Deaño, Alfredo: „Lógicas no clásicas“. In: Quitanilla, M. A. (Hrg.): Diccionario de filosofía contemporánea. Salamanca: Sígueme, 1976, p. 267-268]

Lógicas no clásicas

Este nombre puede inducir a error. Puede inducir a pensar que por lógica «clásica» se entiende en este contexto la lógica tradicional y que las lógicas «no clásicas» son todas las restantes. Y no es ese el caso.

Algunos autores denominan periodo de la „lógica clásica“ al que va del renacimiento a Boole. Lógica «clásica» puede, en este contexto, inducir a pensar que las lógicas no clásicas han de caracterizarse por oposición a lo realizado en lógica durante esos cuatro siglos. Y tampoco.

Las lógicas „no clásicas“ serían, en unos casos, „lógicas especializadas“; en otros, „lógicas divergentes“. La lógica clásica opera con dos únicos valores de verdad: verdadero o falso. Si un enunciado no es verdadero, es falso, y si no es falso, es verdadero. Es el llamado „principio de bivalencia“. Sobre el rechazo de este principio se edifican las „lógicas polivalentes“, que nacen en 1920-1921 por obra de Jan Lukasiewicz y Emil Post. Habría una lógica trivalente, que a lo verdadero y lo falso añadiría un tercer valor: lo „posible“. Podría asimismo construirse una lógica con cuatro valores de verdad: verdadero, más bien verdadero que falso, más bien falso que vedadero, falso), o con cinco, o con seis valores, etc. De hecho se han construido - Post fue el primero - lógicas finitamente polivalentes, en las que se opera con un número cualquiera de valores superior a dos. Incluso lógicas infinitamente polivalentes. Se ha sostenido que las lógicas polivalentes son un instrumento mucho más apropiado que la lógica clásica para el análisis del razonamiento tanto científico como ordinario. Los sujetos, en su razonar espontáneo, no se atienen únicamente a dos valores de verdad, sino que manejan una amplia gama de valores intermedios, funcionando la verdad y la falsedad solamente a título de casos límite.

Otra característica de la lógica clásica es que se trata de una lógica puramente asertórica: los enunciados o son verdaderos o son falsos a secas, sin matices.

Pues bien, la lógica modal matiza, y, en lugar de hablar tan sólo de enunciados nudamente verdaderos o nudamente falsos, trafica también con enunciados necesariamente verdaderos, o posiblemente falsos, o que es imposible que sean verdaderos, etc.

Ligados al constructivismo en filosofía de la matemática, los diversos sistemas de lógica intuicionista tienen como rasgo más llamativo y trascendente su rechazo del principio de tercio excluso (la disyunción de todo enunciado con su negación es verdadera).

Todo ello implica que la lógica clásica abstrae, de entre los múltiples usos posibles del lenguaje, uno solo: el uso que desde Aristóteles llamamos „apofántico“: el uso del lenguaje en cuanto medio para hacer aserciones acerca del mundo, para describir hechos. Sólo los enunciados apofánticos podemos decir que son verdaderos o falsos. Los enunciados interrogativos [vgl. Satzmodi] no tienen valor de verdad, como tampoco los que expresan una orden, etc. Ello no impide, sin embargo, que los enunciados de estos otros tipos puedan mantener entre sí relaciones de inferencia (tal orden pueden implicar tal otra, tal norma puede seguir de tal otra, etc.).  Ello ha constituido la base del desarrollo de todo un conjunto de lógicas: lógicas de discursos no apofánticos (deóntico, erotético, etc.) [ver: Apophantisch].“

[Deaño, Alfredo: „Lógicas no clásicas“. In: Quitanilla, M. A. (Hrg.): Diccionario de filosofía contemporánea. Salamanca: Sígueme, 1976, p. 269-271]

Lógica y filosofía

Instrumento de la filosofía, para Aristóteles; parte de ella, según los estoicos. Parte y a la vez instrumento, según Boecio. En cualquier lugar, fuente de problemas filosóficos, reclamo para la reflexión filosófica, lugar especialmente crítico para plantear algunos de los problemas que a la filosofía dan lugar. Y, al mismo tiempo, instrumento de la filosofía: un instrumento que por haber, él mismo, descubierto sus propias limitaciones, puede muy bien, en su modestia, contribuir a hacer de la filosofía una actividad en la que la crítica comience, como debe ser, por ella misma.“

[Deaño, Alfredo: „Lógicas no clásicas“. In: Quitanilla, M. A. (Hrg.): Diccionario de filosofía contemporánea. Salamanca: Sígueme, 1976, p. 268-269]

Lógica y tautología

En los años anteriores a 1914, en que estudiaba en Cambridge con Russell, Wittgenstein le hizo observar que las verdades de la lógica no podían ser satisfactoriamente definidas como el conjunto de todas las verdades expresables mediante un cierto vocabulario sino que era posible distinguirlas de las restantes verdades por lo que dio en llamar su carácter específicamente tautológico, entendiendo por tautología ni la simple repetición de lo mismo sino más bien la vacuidad de esas verdades. [...]

Aunque sostenía que las verdades de la lógica eran vacuas en un cierto sentido, Wittgenstein no pensaba que careciesen de importancia y estaba lejos de creer, en esta fase de la evolución de su pensamiento [la época del Tractatus], que constituyeran creaciones humanas arbitrarias.

«Las oraciones (Sätze) lógicas describen la armazón del mundo o, mejor, la presentan. No ‘tratan’ de nada; presuponen que los nombres poseen referencia y las oraciones atómicas (Elementarsätze) sentido; y ésta es su conexión con el mundo. Es claro que el hecho de que ciertas combinaciones de símbolos – que revisten esencialmente un carácter determinado – sean tautologías ha de manifestar algo sobre el mundo. Y aquí radica el punto decisivo. Decíamos que en los símbolos de los que nos servimos hay parte de arbitrario y parte que no lo es. En el dominio de la lógica, no somos nosotros quienes expresamos por medio de los signos lo que deseamos expresar, sino que es la naturaleza de los signos esencialmente necesarios la que habla por sí misma. Esto es, tan pronto como conocemos la sintaxis lógica de cualquier lenguaje de signos, todas las tesis (Sätze) de la lógica están ya dadas» (Tractatus Logico-Philosophicus, 6.124).

El carácter tautológico de las aserciones lógicas se suponía susceptible de determinación por el método de las tablas de verdad, careciendo de verdadera importancia a este respecto la imposibilidad de presentar las aserciones universales y existenciales mediante tablas de una complejidad infinita. [...] Pero Wittgenstein no se contentó con afirmar que las verdades lógicas eran tautológicas. Mantuvo asimismo que las tautologías de la lógica constituyen las únicas verdades necesarias y agotan el dominio del conocimiento a priori.”

[Kneale, William y Marta: El desarrollo de la lógica. Madrid: Editorial Tecnos, 1972, p. 585-587]

“Las ideas de Wittgenstein han ejercido mayor influjo entre los filósofos que entre los lógicos matemáticos. Tarski, por ejemplo, confesaba en 1036: «El concepto de tautología (esto es, de enunciado que ‘nada dice acerca de la realidad’) ... me resulta personalmente un tanto vago ... pero ha revestido una importancia fundamental en las disquisiciones filosóficas de L. Wittgenstein y todo el círculo de Viena». Por esas fechas acababa Gödel de demostrar que la noción ordinaria de consecuencia no coincide con la de derivabilidad formal.”

[Kneale, William y Marta: El desarrollo de la lógica. Madrid: Editorial Tecnos, 1972, p. 595-596]

«Nuestro principio fundamental es que toda cuestión que pueda resolverse por medio de la lógica, podrá ser resuelta sin más ... Es posible ... dar de entrada una descripción de todas las ‘verdaderas’ proposiciones lógicas. Por lo que en la lógica no podrá haber jamás sorpresas ... La prueba en la lógica es sólo un expediente mecánico para facilitar el reconocimiento de la tautología, allí donde esta última revista alguna complicación» (Tractatus, 5.551, 6.125, , 6.1251, 6.1262).

[Kneale, William y Marta: El desarrollo de la lógica. Madrid: Editorial Tecnos, 1972, p. 678]

Lógica y psicología

Desde sus orígenes, la lógica ha sido concebida, implícitamente al menos, como el estudio de las leyes del pensamiento. Esta concepción apartece explícita en lógicos del renacimiento, como Ramus, y aparece reflejada incluso en el título de obras como la famosa lógica de Port-Royal (La logique ou l’art de penser, 1662) o en el más importante libro de G. Boole (An investigation of the laws of thought, 1854). La gigantesca renovación producida en la lógica, sobre todo a partir de la obra de Boole, junto con el desarrollo de la psicología, han llevado a superar el psicologismo, o tendencia a fundar la lógica en la psicología, y el logicismo, tendencia inversa a suponer que la psicología (del pensamiento o razonamiento) debe fundarse en la lógica.

La lógica es hoy una disciplina formal (lógica formal) que, por tanto, trata de problemas de validez, mientras que la psicología es una ciencia experimental que necesita contrastar sus enunciados con la experiencia. Sin embargo, aunque ciencias independientes, pueden establecer una colaboración fecunda para ambas. La psicología puede servirse de la lógica como un modelo y como un lenguaje para describir las actividades intelectuales de los sujetos. El cálculo de proposiciones o de predicados (lógicas no clásicas), como las lógicas polivalentes o modales, pueden utilizarse para describir la conducta del sujeto y así lo ha hecho Jean Piaget. Pero también la psicología puede plantear exigencias a la lógica que requieren la construcción de nuevos cálculos, como ha sugerido L. Apostel. Además de esto, es posible estudiar la adquisición de los conceptos lógicos (como los cuantificadores o las conectivas) a lo largo del desarrollo psicológico, lo cual puede proporcionar datos de importancia para la epistemología de la lógica.“

[Val, J. A. del: „Lógica y psicología“. In: Quitanilla, M. A. (Hrg.): Diccionario de filosofía contemporánea. Salamanca: Sígueme, 1976, p. 269]

¿Qué es la lógica?

Como toda ciencia, la lógica se presenta en forma de un lenguaje. Este lenguaje es, como el de todas las ciencias, un lenguaje de tipo cognoscitivo. Como todo lenguaje, además, el de la lógica posee un cierto vocabulario. Ahora bien, mientras el vocabulario de las ciencias comprende expresiones que se refieren a los hechos y expresiones que no se refieren a los hechos, pero en cuyo marco son presentados los hechos, el vocabulario de la lógica abarca solamente estas últimas expresiones. Así, por ejemplo, el enunciado «Si se reciben del espacio exterior señales de radio de 21.1 centímetros de longitud de onda, entonces hay átomos de hidrógeno en el espacio exterior» se compone de dos tipos de expresiones. En uno intervienen términos como ‘espacio exterior’, ‘señales de radio de 21.1 longitud de onda’, etc., los cuales se refieren a hechos. En otro intervienen términos como ‘Si ... entonces’. Estos últimos forman parte del vocabulario lógico, en el cual están engastados los enunciados científicos o, en general, enunciados cognoscitivos. La lógica tiene como objeto los términos del vocabulario lógico, los cuales se organizan en ciertas estructuras. Cuando las estructuras en cuestión son verdaderas con independencia de los términos no lógicos engastados en ellas, el resultado son verdades lógicas. Se dice por ello que un enunciado es lógicamente verdadero cuando lo es únicamente en virtud de su estructura o de su forma.

Según los términos lógicos específicamente introducidos en cada caso, tenemos diversas partes de la lógica. Estas partes son: la lógica sentencial, la cuantificacional (elemental y superior), la de la identidad, la de las clases y la de las relaciones.

En la lógica usual se contienen no solamente términos lógicos, estructuras lógicas y verdades lógicas, sino también enunciados acerca de ellos. Estos enunciados forman parte de una disciplina: la metalógica. [...] Siendo la metalógica una parte de la semiótica general o teoría general de los signos – y, por consiguiente, siendo un metalenguaje –, las cuestiones por ella planteadas son de índole sintáctica, semántica y pragmática. [...]

Tanto la lógica como la metalógica son disciplinas formales. Lo que se ha llamado a veces lógica material (o lógica mayor) o no es propiamente lógica (sino metodología, crítica, gnoseología, etc.), o bien puede ser equiparada con la semiótica lógica; en este caso sigue subsistiendo su formalismo. La lógica y la metalógica son también disciplinas de carácter deductivo. Lo que se ha llamado a veces lógica inductiva usa asimismo la deducción como método. De todos modos, es plausible distinguir entre lógica deductiva y lógica inductiva siempre que por cada una de estas expresiones se entienda el tratamiento de cierto grupo de problemas más bien que ciertas formas de operación lógica. En ambos casos, las lógicas en cuestión proporcionan un análisis de ciertos términos y de ciertas operaciones que constituyen la base de las ciencias.

En este sentido puede decirse que los lenguajes lógicos son lenguajes cognoscitivos. Otra cuestión es la de si son informativos. Algunos autores han declarado que la lógica entera (y también la matemática) está compuesta de anunciados tautológicos, y que su carácter de completa certidumbre se debe justamente a la „vaciedad“ de tales enunciados. Otros han manifestado que la lógica informa sobre la realidad. No terciaremos aquí sobre esta cuestión. Declararemos únicamente que en ninguno de dichos casos el calificativo de ‘cognoscitivo’ deja de tener sentido. Pues aun suponiendo que la lógica no diga nada sobre la realidad, es menester admitir que nada sobre la realidad puede ser enunciado sin que se halle en su base el vocabulario lógico.“

[Ferrater Mora, J.: Diccionario de Filosofía. Buenos Aires: Editorial Sudamericana, 1969, vol. 2, p. 77-78]

Filosofía de la Lógica en Gottlob Frege

“No resulta fácil precisar la concepción de Frege de la Lógica. Para ello hay que rastrear otras nociones suyas cuya elucidación deja traslucir lo que lo lógico era para Frege.

La noción más importante para este propósito es la de «analítico»; noción que ocupa su atención ya en la Begriffsschrift, y que resulta central en los Fundamentos. Que Frege asocia lo lógico a lo analítico queda patente en las palabras con que concluye sus investigaciones en los Fundamentos: «Espero haber hecho verosímil en esta obra la idea de que las leyes aritméticas son juicios analíticos y que, por consiguiente, son a priori. La aritmética, por tanto, sería solamente una lógica más extensamente desarrollada, y cada enunciado aritmético sería una ley lógica, aunque una ley derivada. Las aplicaciones de la aritmética en la explicación de la naturaleza sería elaboraciones lógicas de hechos observados; calcular sería deducir».

El criterio de analiticidad es la existencia de una demostración; analítico significa para Frege la existencia de una demostración en un sistema cuyos axiomas son principios generales y, por lo tanto, lógicos. [...]

El concepto fregeano de analiticidad es de naturaleza sintáctica (demostrabilidad en un sistema lógico), en lo concerniente a las proposiciones derivadas. Es en esta parte en la que más insiste Frege, y donde más convincentes son sus argumentaciones. Una vez establecidas las leyes básicas, las Grundgesetze, se trata de reconocer qué otras proposiciones son deducibles de ellas, y clasificarlas, entonces, entre las analíticas.

El problema está, sin embargo, en determinar la naturaleza de las proposiciones de base. Podemos reconocerlas, dice Frege sin equívoco ni discusión como proposiciones de naturaleza lógica, debido a que todos los dominios del saber apelan, implícita o explícitamente, a ellas.

Según esto, las proposiciones de base resultan ser de naturaleza lógica porque así se nos imponen; porque su verdad se nos impone necesariamente. Y se distinguen de los axiomas de otros dominios (de los axiomas de la Geometría, por ejemplo), porque poseen un grado de necesidad más elevado. Por tanto, la lógica axiomática no constituye un sistema hipotético-deductivo, sino que posee carácter apodíctico (de aquí parte la crítica de Frege a la axiomática de Hilbert). Los axiomas de la Lógica no son hipótesis, sino principios verdaderos, necesarios, inmutables y únicos. Y aquí hace su aparición la Ontología de Frege (una especie de platonismo): Los axiomas de la Lógica poseen esas propiedades porque emanan de un mundo invisible, de una «tercer reino», que no es ni el de los objetos del mundo exterior, ni el de las representaciones subjetivas. Los objetos de este «tercer reino» coinciden con los objetos físicos en que no precisan de sujeto alguno a cuyos contenidos de conciencia pertenezcan, y con las representaciones subjetivas en que no son perceptibles por los sentidos. Y es posible acceder a los objetos de este tercer reino, aunque, ciertamente, no a través de la sensibilidad: por eso rechaza Frege la tesis de Kant de que sin la sensibilidad no nos sería dado ningún objetl: el cero, el uno son objetos que no pueden venir dados por los sentidos, sino que «son dados directamente a la razón». [...] Los axiomas de la Lógica son de esta naturaleza: emanan de ese tercer reino poblado de juicios verdaderos, independientes del hecho de que los individuos humanos los efectúen, o no. Por sí mismos no pueden probar su validez ni indicar su origen, que es, en realidad, extralógico. [...] El fundamento último de la Lógica no está en la Lógica, sino en la Ontología. Podría decirse, para justificar las primeras proposiciones irreductibles, que al margen de ellas se acabaría todo; ellas constituirían las condiciones de posibilidad de lo real.

En uno de los últimos escritos (Der Gedanke, 1918) desarrolla Frege su teoría del «tercer reino», poblado de esos seres que él llama «pensamientos». El pensamiento (der Gedanke) es aquello con respecto a lo cual tiene sentido plantearse la verdad en general. El pensamiento es el sentido de una oración; es lo que A. Church, fiel seguidor de Frege, propone traducir por «proposición», entendida ésta en sentido abstracto, como la entendió Bolzano, a la que llama Satz an sich, y como entiende Frege su Gedanke: el contenido significativo de la oración aseverativa, que es común a la oración y a sus traducciones a otras lenguas; el contenido objetivo del pensamiento que puede ser propiedad común de muchos. «Los pensamientos no son ni objetivos del mundo exterior, ni representaciones. Hay que admitir un tercer reino». En él habita, por ejemplo, el pensamiento expresado en el teorema de Pitágoras; más también lo pueblan los números y las leyes de la Lógica; y todos sus habitantes gozan de intemporalidad, de necesidad, de verdad y de independencia respecto de la actividad humana.”

[Velarde Lombraña, Julián: Historia de la lógica. Oviedo: Servicio de Public. de la Universidad. s/a, p. 350-352]

El teorema de incompleción de Kurt Gödel

En la década de los años treinta quedó truncada la fe que los formalistas habían puesto en el método axiomático y en la posibilidad de resolver por procedimientos mecánicos cualquier problema lógico o matemático.

El problema de la decisión (Entscheidungsproblem) recibe una solución definitivamente negativa.

El año 1931 publica Kurt Gödel su famosa memoria y que más impacto ha producido en la lógica moderna: “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandte ‘Systeme I’”, en Monatshefte für Mathematik und Physik, 38 (1931), pp. 173-198. Las conclusiones obtenidas acaban con las esperanzas puestas en la ilimitada potencia del método axiomático; éste posee ciertas limitaciones intrínsecas: la primera, es que todos los sistemas formales de la matemática clásica son irremediablemente incompletos, ya que para cada uno de ellos cabe construir una fórmula indecidible. La segunda es que resulta imposible establecer la consistencia de un sistema formal de la Aritmética desde dentro de ese sistema.

Tras una primera presentación informal del teorema de incompleción, presenta una descripción detallada del sistema P sobre el que va a trabajar. El sistema P es, esencialmente, el sistema que se obtiene cuando a los axiomas de Peano se añade la lógica de los Principia Mathematica. [...]

Gödel mostró cómo la consistencia de P no puede probarse dentro de P, i. e., que la consistencia de la Aritmética no puede demostrarse desde dentro de la Aritmética; y, en general, que resulta imposible establecer la consistencia de un sistema formal desde dentro del mismo.

Los resultados de Gödel vienen a constituir respuestas negativas a los planteamientos de Hilbert. Este había presentado la cuestión de si el sistema formal de la teoría de los números era, o no, completo, en el sentido de que toda proposición formulable en su lenguaje pueda ser demostrada o refutada. Gödel responde:

1)     Que los sistemas formales usuales de la teoría de los números son irremediablemente incompletos, de donde resulta que un tratamiento axiomático de la teoría de los números no puede agotar nunca el campo de las verdades aritméticas; y

2)     que la demostración absoluta de consistencia de la teoría de los números (de la Aritmética) que satisfaga los requisitos finitistas propuestos por Hilbert no puede ser establecida desde dentro de la Aritmética.

De modo que, si bien las conclusiones de Gödel no excluyen la posibilidad de llegar a una prueba absoluta finitista de consistencia de la Aritmética (sólo excluye que esa prueba puede establecerse desde dentro de la Aritmética), sin embargo resulta difícil imaginar cómo pueda ser una prueba finitista y, a la vez, no susceptible de formulación dentro de la Aritmética.

Una exposición completa y clara de este teorema es la de E. Nagel, y J. R. Newman, El teorema de Gödel. Trad. cast. A. Martín. Tecnos, Madrid 1979.”

[Velarde Lombraña, Julián: Historia de la lógica. Oviedo: Servicio de Public. de la Universidad. s/a, p. 402 y 404]

En el último capítulo de su Introduction to Mathematical Philosophy, Lord Russell escribía:

«Si todavía hay quien no admita la identidad de la lógica y la matemática, prodemos desafiarle a que nos muestre en qué punto de la cadena de definiciones y deducciones de los Principia Mathematica considera que concluye la lógica y comienza la matemática».

Desde Gödel, parece razonable responder que la lógica no se extiende más allá de la teoría de la cuantificación. Cuando decimos que la aritmética y, con ella, todos los llamados cálculos funcionales de orden superior, así como todas las versiones de la teoría de conjuntos, son esencialmente incompletos, estamos efectivamente admitiendo que esas teorías envuelven alguna noción, o más de una, de la que no cabe ofrecer una exhaustiva caracterización mediante el establecimiento de una serie de reglas de inferencia; y ésta parece constituir una buena razón para excluirlas del dominio de la lógica. Desde cualquier punto de vista que enfoquemos la cuestión, la lógica ha de ser considerada como el aparato básico y fundamental de esa variopinta familia de teorías deductivas a la que damos el nombre de matemática, puesto que se halla presupuesto por todas ellas. Pero carecería de objeto afirmar la posibilidad de reducir toda la matemática a la lógica si, al mismo tiempo, hubiera que admitir que la lógica incluye dentro de sí todos y cada uno de los diversos aparatos de la matemática. Y, sin embargo, esto es lo que tendría hoy que decir un seguidor de Frege. En los días de Frege, el ámbito de la lógica no se hallaba todavía delimitado con precisión y la tesis logicista podía parecer plausible a sus contemporáneos por el hecho de resultarles fácil concebir el paso de la teoría de la cuantificación a la teoría de conjuntos y la aritmética. Mas los descubrimientos de Gödel han puesto de relieve una profunda diferencia entre la teoría de la cuantificación, que es completa, y la teoría de conjuntos, que no lo es.

En beneficio de la claridad parece, por lo tanto, preferible reservar para la primera la denominación de «lógica», y esto es de hecho lo que hacen la mayor parte de los matemáticos cuando se hallan enfrascados en sus ocupaciones cotidianas. Para decirlo en dos palabras, lo que hemos dado en llamar lógica general por ocuparse de la noción de generalidad parece asimismo merecer ese título por no dejar fuera de sí nada que sea propio de la lógica, excepción hecha del expreso tratamiento de la modalidad que descansa en el tránsito de las reglas de primer orden a las de segundo orden.”

[Bochenski, I. M.: Historia de la Lógica formal. Madrid: Gredos, 1976, p. 673-674]

“Para la comprensión de la demostración que Gödel (1931) hace de su teorema resulta necesaria la noción de «función recursiva», cuya configuración precisa se consigue en el quinquenio siguiente. [...] En 1936, A. Church define la noción de «función efectivamente calculable», basándose en la noción más precisa de «función λ-definible». [...] Por su parte Kleene estableció la equivalencia entre función recursiva general y función λ-definible. Y basándose en estos resultados, propone Church identificar «efectivamente calculable» con «λ-definible» o con su equivalente: «recursividad general». Esta propuesta es conocida como la Tesis de Church:

«Toda función efectivamente calculable es una función recursiva general».

Como tesis que es (ya que le equivalencia enunciada mediante «es» se establece entre la noción precisa de «función recursiva general» y la noción antropológica e intuitiva de «función efectivamente calculable») no puede ser probada, pero todas las funciones efectivamente calculables hasta ahora conocidas son recursivas.

Posteriormente, Markov estableció de manera precisa el concepto de «algoritmo», y D’etlovs probó que las funciones calculables mediante tales algoritmos coinciden también con las funciones recursivas generales. Finalmente, en 1980, Gandy siguiendo las directrices marcadas por Turing, aduce una serie de principios que apoyan la justificación de la Tesis de Church.

Dando por supuesta esta Tesis, Church demostró, primero, que el problema de la decisión es insoluble en la teoría elemental de números, esto es, que no es posible encontrar un procedimiento efectivo que permita decidir, para toda proposición de la teoría, si es derivable o no.

Luego, suponiendo también la tesis, mostró que el sistema de la Lógica Elemental (la lógica de predicados de primer orden de Hilbert y Ackermann) es indecidible. Este resultado es conocido como Teorema de Church. [...] Según este teorema, el conjunto de las fórmulas de la Lógica Elemental lógicamente válidas no es recursivo (en el sentido, propuesto por Church, de que no es efectivamente computable).

El teorema de Church constituye otra de las limitaciones del formalismo; mas las limitaciones de los sistemas formales no lo son de la capacidad de la razón humana; es es lo que Gödel quiere dejar bien sentado al criticar la idea de Turing de que la mente humana es equivalente a una máquina:

«Turing ofrece una argumentación que se supone muestra que los procedimientos mentales no pueden llegar más lejos que los procedimientos mecánicos. Sin embargo, esta argumentación es inconcluyente, pues depende de la suposición de que una mente finita sólo es susceptible de tener un número finito de estados distinguibles. De lo que Turing no se da cuenta es del hecho de que la mente, en su uso, no es estática, sino que está en constante desarrollo». (K. Gödel, Obras completas. Madrid: Alianza Editorial, 1981, p. 171, nota).”

[Velarde Lombraña, Julián: Historia de la lógica. Oviedo: Servicio de Pub. de la Universidad. s/a., p. 405 y 406‑407]

Metateoría de la lógica

La Metateoría consiste sobre todo en estudiar si los cálculos lógicos responden a cierto tipo de requisitos. Estos requisitos son, fundamentalmente, tres.

1.   El requisito de consistencia. Un cálculo es consistente si y sólo si no es posible demostrar en él una fórmula y su negación.

2.   El requisito de completud o completitud. Un cálculo es completo cuando en él se pueden demostrar todas las fórmulas verdaderas construibles con sus símbolos.

3.    El requisito de decibilidad. En rigor, llamar «decidible» a un cálculo es una figura de dicción. Decidibles serán, en todo caso, las fórmulas del cálculo, y no el cálculo como tal. Se acostumbra a decir que un cálculo es decidible cuando dispone de al menos un procedimiento para decidir, en un número finito de pasos reglamentados, si una fórmula es verdadera o no (y, por ende, en el caso de que el sistema sea completo, si es o no derivable en él).

Por lo que se refiere al cálculo de enunciados, cumple con los dos primeros requisitos.

También el cálculo de predicados de primer orden reúne los requisitos de consistencia y completud.

Importante es la demostración del carácter completo de la lógica cuantificacional elemental, llevada a cabo por Kurt Gödel en 1930. El cálculo de predicados de primer orden no es decidible, en su conjunto. Lo son ciertos estratos – como la lógica de predicados monádicos – o ciertos conjuntos de fórmulas – ciertos tipos de expresiones de la lógica de predicados poliádicos –, pero la lógica de predicados poliádicos es, como tal, indecidible, y, por lo tanto, lo es también la lógica general de predicados, que la incluye. Lo demostró Alonzo Church en 1936.

En cuanto a la lógica cuantificacional superior, Kurt Gödel, el que probó en 1930 la completud de la lógica elemental, demostró, en un celebérrimo trabajo publicado en 1931, que es imcompleta: mientras que las verdades formales acerca de cualesquiera individuos pueden ser organizadas en un cálculo lógico que las fundamente, las verdades acerca de cualesquiera conjuntos de individuos (o acerca de cualesquiera predicados de individuo) no pueden ser presentadas en su totalidad como el conjunto de los teoremas de un sistema lógico. El hecho de que León Henkin, en 1950, haya matizado el teorema de Gödel mostrando la posibilidad de alcanzar en lógica cuantificacional superior una cierta completud, una completud secundum quid, apenas priva a dicho resultado metateórico de su impacto sobre la lógica formal, sobre la filosofía de la lógica, y, en definitiva, sobre la filosofía a secas.”

[Deaño, Alfredo: Introducción a la lógica formal. 2. Lógica de predicados. Madrid: Alianza Ed., 1975, p. 200-201]

Aritmética es contar. Contar es una operación intuitiva, como son intuitivos sus resultados: los números. El Álgebra da a los números intuitivos una segunda vida, convirtiéndolos en sus definiciones, por tanto, en algo lógico. Ciertamente que esas definiciones consisten en reducir los números a nociones de relación – igual, mayor, menor –. Y estas nociones son intuitivas, son la intuición básica de la numerosidad, y, por tanto, de la Aritmética. El Álgebra no es independiente de ésta: parte de ella y vuelve a ella al cabo, puesto que las fórmulas tienen que ser llenadas con números no algebraicos, sino aritméticos. Pero entremedias del punto de partida y el de llegada, el Álgebra da a los números eso que llamo segunda vida: su vida lógica.

Mas nada anda tan vago en las cabezas de las gentes como lo que pretende ser menos vago; a saber: lo que entendemos cuando de algo decimos que es «lógico». Lógico es un «modo de pensar» en que se atiende exclusivamente a las puras relaciones existentes entre los conceptos como tales conceptos; pero a la vez pretendiendo que lo válido para estos conceptos valga también para las cosas concebidas. Más adelante se verá claro todo lo que esto significa. Ahora importa sólo la primera parte del periodo que va antes de «pero». Lo que veo con los ojos no es algo lógico, sino algo intuitivo. No es un concepto. ¿Por qué? Porque es el extracto de una definición; por tanto, porque al tener en mi mente «caballo», tengo en mi mente distintos, esto es, separados unos de otros, los componentes de eso mismo que pienso. Esto no acontece en lo que veo según lo veo. Allí está todo junto, sin separación. Los componentes no me parecen como componentes cada uno aparte y preciso, es decir, cortado de los otros. Además están en la intuición inseparados muchos otros elementos que no son componentes del concepto caballo – los varios tamaños, los varios colores, los varios gálibos de la figura. De aquí que al ver algo no sé bien, estrictamente, en qué consiste. El concepto, en cambio, consiste exclusivamente en su definición. Es esa serie de «notas», de ingredientes, que la definición me exhibe como las piezas de una máquina. En este sentido el concepto coincide siempre consigo mismo, y puedo manejarlo con seguridad. Es una moneda que tiene un valor preciso, con el cual puedo, pues, confiadamente contar; no es, como la visión, una joya que vale mucho, pero nunca sé seguramente cuánto vale, y por eso no puedo nunca contar exactamente con su valor. El concepto es pensamiento acuñado, titulado, inventariado. Esta transmutación de lo visto en lo concebido se obtiene mediante una actuación mental sencilla. En los visto, y más en general en lo intuido, nuestra atención fija uno o varios elementos, es decir, se fija en cada uno de ellos. Luego nuestra mente abstrae de todo lo demás que en lo intuido hay, y extrae los elementos fijados, dejando el resto. El concepto es así extracto de la intuición. [..] Nos interesa sólo lo que el concepto tiene de extraído, porque eso es lo que tiene propiamente de concepto. Al extracto mental de una cosa llamaron los griegos su lógos, esto es, su «dicción», «lo que de ella se dice», porque, en efecto, las palabras significan esos extractos mentales. «Mesa» es el lógos de innumerables artefactos humanos muy distintos entre sí, pero que tienen una estructura mínima idéntica, un mismo extracto.

Una vez practicada esta operación, nuestra mente se vuelve de espaldas a lo visto o intuido, y ya no se ocupa más de ello, sino que parte de ese extracto, se atiene a él exclusivamente, y aplicando los principios «lógicos» de que hablaremos más tarde, pone aquel concepto en relación con otros que son no menos extractos que él, y observa si se identifican o se contradicen, o está el uno incluido en el otro; forma con dos conceptos que no se contradicen, que son compatibles, una nueva unidad conceptual, y así, sucesivamente, urde una trama de meros conceptos que es precisa y coherente. A esa trama de «extractos» llamamos una teoría lógica, y a eso que hemos h e c h o se llamaba, desde los griegos, «pensar lógico».

De todo ello, lo que me interesa más subrayar es que el pensamiento lógico, una vez que pre-lógicamente ha extraído de las intuiciones los conceptos que parecen suficientes para el tema que se trata, se encierra con ellos dentro de sí mismo, y sus enunciados se refieren exclusivamente a esos conceptos, que pasan, por tanto, a ser las «cosas» de que una teoría lógica habla. Si uso el nombre «caballo» para designar ciertos animales que ganan los premios en las carreras, que han llevado en sus lomos a Alejandro Magno, al Cid y al picador de toros, objetos, pues, de que he tenido intuiciones innumerables y en gran parte divergentes entre sí, sus significación (la del nombre) es teóricamente incontrolable, aunque goce de un cierto beneplácito práctico bastante a ciertos menesteres de la vida distintos del «pensar lógico». Si significación es incontrolable porque, usado así, el nombre representa esas innumerables intuiciones. Si, si en cambio, empleo el nombre «caballo» como nombre de la definición de este animal dada por la Zoología, su significación queda acotada, es un acotamiento de la primera, que era in-acotada, in-finita o in-definida, difusa y confusa. La palabra con que Aristóteles expresa la idea de concepto es «lo acotado» – hóros –. Hóros es lo que en el paisaje aparece erguido, lo que se eleva, y por lo mismo se hace notar, se señala. Su correspondiente en latín es terminus. Hóros y terminus eran los montones de piedra y luego los mojones que separaban los campos y delimitaban la propiedad de cada cual. [...] Los romanos, que en materia de propiedad no andaban con bromas, consideraban sagradas las piedras divisorias, y encargaron a un dios exclusivamente de guardar los límites, de mantener los acotamientos – Terminus –. Y como Júpiter era el dios del Estado, hicieron de él un Jupiter Terminalis. Por lo mismo, cuando se arrojaba a alguien fuera del territorio romano, se le exterminaba. Los latinos tradujeros el hóros – «lo acotado» de Aristóteles – por terminus, y los escolásticos tuvieron el buen acuerdo de conservarlo. Nosotros debiéramos volver a esta expresión cuando nos referimos al concepto lógico, porque «concepto», sin más, significa no pocas otras cosas.

Término es, por tanto, el pensamiento, en cuanto acotado por nuestra mente; es decir, el pensamiento que se pone cotos a sí mismo, que se precisa. Ahora creo que se entenderán las metáforas que antes he empleado llamando al concepto pensamiento titulado, oficializado, inventariado. Hagamos de terminus, garantía de la propiedad con que se cuenta, instrumento seguro de la propiedad con que se habla. El pensar lógico se refiere a términos, y por eso debe normalmente hablar in terminis. Leibnis nos lo recomienda incesantemente, y esta recomendación se origina en lo más hondo de su «modo de pensar». Definir es, pues, canjear los nombres por conceptos, nos dice Aristóteles (Tópicos, VI, 11, 149 a 2).

Nuestra definición de concepto tenía una segunda parte: la que sigue al «pero». Consistía en que el concepto ha de ser tal, que lo para él válido lo sea también para los cosas mediante él concebidas. Esta condición del concepto no tiene por sí nada que ver con el concepto en cuanto término. Con lo cual se nos hace manifiesto que el concepto tiene dos caras. Por una, el concepto pretende declararnos la verdad sobre la cosa: es la cara de él que mira a la realidad, por tanto, a fuera de él mismo, a fuera del pensamiento; es su cara ad extra. Por otra, el concepto consistía en su propio acotamiento como contenido mental; es su cara ad intra del pensamiento. Por aquélla, el concepto es o no suficientemente verdadero, es o no suficientemente conocimiento. Por ésta, el concepto es más o menos preciso, estricto, inequívoco, exacto; es más o menos logos, más o menos lógico o apto para que funcionen con rigor las operaciones lógicas. De donde resulta que la logicidad de un concepto es cosa distinta de su veracidad.

Mi interés era destacar ante todo que el concepto sólo es lógico, esto es, sólo sirve para entrar en las relaciones lógicas, en la medida en que es término. No es, pues, su verdad o validez para las cosas lo que hace de un pensamiento un pensamiento lógico, un lógos, sino su precisión, su exactitud. La verdad de un concepto viene a éste en su relación con las cosas; por tanto, con algo externo a él. Es una virtud extrínseca del concepto. Su precisión, en cambio, su univocidad, es una virtud que el concepto tiene o no, por sí mismo, en cuanto pensamiento y sin relación a nada extrínseco.

Son, pues, veracidad y logicidad dos dimensiones distintas del concepto, y no está dicho sin más que lo que a una convenga también convenga a la otra. [...] Se trata, en consecuencia, de dos intereses por lo pronto antagónicos. Tanto, que ello dio lugar a este acontecimiento enorme: nace el conocimiento – por tanto, la filosofía y las ciencias – cuando por vez primera se descubre un pensar caracterizado como exacto. Llevó este descubrimiento al anhelo de saber con rigor y seguridad lo que son las cosas que nos rodean. Más resultó, ipso facto, que ese pensar exacto, precisamente por serlo, no era válido para las cosas en torno del hombre. Y entonces acontece el hecho, monumentalmente paradójico, de que el esfuerzo que es el conocer, se vuelve al revés, y en vez de buscar conceptos que valgan para las cosas, se extenúa en buscas cosas que valgan para los conceptos exactos. Estas cosa que son a medida de los conceptos fueron llamadas; por Parménides, el Ente; por Platón, las Ideas; por Aristóteles, las Formas. Casi toda la historia de la filosofía antigua y medieval es la historia de unos conceptos sobre cosas, que andan en busca de las cosas por ellos concebidas. Y el acontecimiento delirante perduda (en parte, por lo menos), pues si brincamos al otro extremo de la historia científica, es decir, a hoy, oímos a Einstein que nos dice: «Las proposiciones matemáticas, en cuanto que se refieren a la realidad, no son válidas, y en cuanto que son válidas, no se refieren a la realidad» (Eintein, Geometrie und Erfahrung).”

[Ortega y Gasset, José: “La idea de principio en Leibniz y la evolución de la teoría deductiva”. In: ders. O. C., vol. VIII, p. 99-105]

Lógica e informática

Las relaciones entre la lógica y la informática son recíprocas. Aparte de la computación de la lógica, es decir, del uso efecto del computador como instrumento para la solución de problemas lógicos, es interesante considerar lo que podríamos llamar lógica de la computación, entendiendo por tal el estudio de las relaciones de fundamentación de la lógica con respecto a la informática, tanto en el plano de la teoría como en el de la técnica. Desde el punto de vista estrictamente teórico, baste señalar que las teorías de la computabilidad (teoría de máquinas de Turing, teoría de funciones recursivas), que constituyen, por así decirlo, la ciencia a priori de la computación, son una de las grandes conquistas de la lógica matemática del siglo veinte. De hecho fueron ideadas por mentes lógicas allá por los años treinta, antes de que fuese efectivamente construido ninguno de los modernos computadores digitales (el primero de los cuales, el MARK I de la Universidad de Harvard, vio la luz en mayo de 1944).

Desde el punto de vista tecnológico, las relaciones de la lógica con la informática son asimismo fundamentales, en el doble plano estructural y funcional. [...] En la confección de los circuitos que integran la ‘hardware’, es decir, la estructura sólida del computador, juega un papel importante el conocimiento del álgebra de Boole. Por lo que respecta al ámbito de la ‘software’, que corresponden al plano funcional, los métodos de formalización, canonización y recursión propios de la lógica simbólica – que han servido también de base a la revolución lingüística de Chomsky – significan una valiosa ayuda en la confección de los lenguajes artificiales de programación.”

[Garrido, Manuel: Lógica simbólica. Madrid: Tecnos, 1977, p. 355]