KONSTRUKTIVISMUS in der Mathematik

Constructivismo matemático

(Recop.) Justo Fernández López

 

Vgl.:

Logik / Mathematik / Logizismus / Formalismus / Intuitionismus / Frege, Gottlob / Verstand und Vernunft

 

„Was für ein Satz ist dies: «Wir können uns in 12x12=144 nicht verrechnet haben»? Es muß doch ein Satz der Logik sein. – Aber ist er nun nicht derselbe, oder kommt [er] auf das gleiche hinaus, wie die Feststellung 12x12=144?

Forderst du eine Regel, aus der hervorgeht, dass man sich nicht könne verrechnet haben, so ist die Antwort, dass wir dies nicht durch eine Regel gelernt haben, sondern dadurch, dass wir rechnen lernten.

Das Wesen des Rechnens haben wir beim Rechenlernen kennen gelernt.

Aber lässt sich denn nicht beschreiben, wie wir uns von der Verlässlichkeit einer Rechnung überzeugen? O doch! Aber eine Regel kommt dabei eben nicht zum Vorschein. – Das wichtigste aber ist: Es braucht die Regel nicht. Es geht uns nichts ab. Wir rechnen nach einer Regel, das ist genug.

So rechnet man. Und Rechnen ist dies. Das, was wir z.B. in der Schule lernen. Vergiss diese transzendente Sicherheit, die mit deinem Begriff des Geistes zusammenhängt.

Man könnte aber doch aus einer Menge von Rechnungen gewisse als eine für allemal zuverlässige, andre als noch nicht feststehend bezeichnen. Und ist das nun eine logische Unterscheidung?

Aber bedenk: auch wenn mir die Rechnung feststeht, ist es nur eine Entscheidung zu einem praktischen Zweck.

Wann sagt man, «Ich weiß, dass ... x ... = ...»? Wenn man die Rechnung geprüft hat.

Was ist das für ein Satz: «Wie sähe denn hier ein Fehler aus!»? Es müsste ein logischer Satz sein. Aber es ist eine Logik, die nicht gebraucht wird, weil, was sie lehrt, nicht durch Sätze gelehrt wird. – Es ist ein logischer Satz, denn er beschreibt ja die begriffliche (sprachliche) Situation.”

[Wittgenstein, Ludwig: „Über Gewissheit“. In: ders. Werkausgabe, Bd. 8. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1984, S. 128-130]

Konstruktivismus

Richtung in der Philosophie der Mathematik, die auf Kant zurückgeht. Danach ist die mathematische Erkenntnis synthetisch a priori und beruht auf der Konstruktion mathematischer Objekte in reiner Raum- und Zeitanschauung. Seine klassische Ausformung bekam der Konstruktivismus Anfang des 20 Jh. bei den holländischen Intuitionisten L. E. Brouwer und A. Heyting. Gemäß ihrer Auffassung existieren mathematische Objekte nur insofern, als wir sie konstruieren. Wir können daher nur dann die Existenz eines mathematischen Objekts behaupten, wenn wir ein Konstruktionsprinzip und eine –methode besitzen. Umgekehrt können wir nur dann seine Existenz bestreiten, wenn der Nachweis möglich ist, dass die Annahme seiner Existenz zu einer Inkonsistenz führt. Da der Beweis mathematischer Existenzbehauptungen bzw. ihre Widerlegung nicht immer möglich ist, ist auch die allgemeine Gültigkeit des Prinzips des ausgeschlossenen Dritten nicht garantiert. In der Mathematik gilt daher nicht die klassische, sondern die so genannte intuitionistische Logik.

Einen späteren Konstruktivismus finden wir u. a. bei E. Bishop und in der Erlanger Schule. Der Konstruktivismus bildet das Modell des von M. Dummett entwickelten semantischen Antirealismus. Umgekehrt hat der Konstruktivismus durch diesen eine neue sprachphilosophische Begründung erhalten. Wesentliche Beiträge zur Weitentwicklung des Konstruktivismus finden wir u. a. bei G. Kreisel, S. C. Kleene, S. Kripke und A. S. Troelstra.“

[Hügli, Anton/Lübcke, Poul (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 326]

Handwerk und Mundwerk. Wir wir die Wirklichkeit erkennen.

Seit der griechischen Antike gilt die Poiesis (das handwerkliche Herstellen) nicht als würdiger Gegenstand der Erkenntnistheorie. Anschauliche Beispiele aus der Geometrie Euklids und aus der Mechanik Galileis zeigen aber, dass dem Handwerk die Gegenstände zu verdanken sind, über die in den modernen Naturwissenschaften gesprochen wird.

Auch für Erkenntnis im Alltagsleben und für die darin zu leistende Unterscheidung von wahr und falsch ist das Gelingen und der Erfolg technikscher Herstellung ein unerlässliches Mittel. «Wirklichkeit» als Gegenstand der Erkenntnis hat mehr mit dem Bewirken der Hände zu tun als mit dem passiven Zuschauen des Theoretikers. Erkenntnis kann zwar als Abbild bezeichnet werden, bildet aber etwas anderes ab als eine menschenunabhängige Realität. Beantwortet man die Frage nach dem Wozu der Erkenntnis so, dass Erkennen ein Mittel der Lebensbewältigung zu sein hat, lassen sich erhebliche Probleme der philosophischen Tradition vermeiden oder beheben.”

[Janich, Peter (Marburg): Handwerk und Mundwerk Wie wir die Wirklichkeit erkennen. Vortrag am 27.03.2001, Philosophische Gesellschaft Innsbruck, 27.03.2001]