KALKÜL

Cálculo

(Recop.) Justo Fernández López

 

Vgl.:

Algorithmus / Automat(entheorie) / Formale Sprachen / Formale Systeme / Turing Maschine / Axiom / Sprache als Kalkül / Generative Transformationsgrammatik

 

Kalkül

im allgemeinen syn. für Algorithmus.“

[Meschkowski, Herbert: Mathematisches Begriffslexikon. Mannheim: Bibliographisches Institut, 1971, S. 133]

Algorithmus

Ein Algorithmus in einem formalen System ist ein Verfahren zur schrittweise Umformung von Zeichenreihen, wobei man für jede Zeichenreihe Z feststellen kann, ob sie aus einer gegebenen Zeichenreihe Z1 durch Anwendung des Algorithmus gewonnen werden kann oder nicht.

Im Bereich der Arithmetik ist ein Algorithmus ein schematisches Rechenverfahren zur Lösung eines bestimmten Problems.“

[Meschkowski, Herbert: Mathematisches Begriffslexikon. Mannheim: Bibliographisches Institut, 1971, S. 23]

Siehe ausführlich bei

Schneider, Hans Julius: Phantasie und Kalkül. Über die Polarität von Handlung und Struktur in der Sprache. Frankfurt a. M.: Suhrkamp, 1992:

„Der am Beginn dieses Jahrhunderts in die Wege geleitete sprachlich Sinnvollen auf formale und in diesem Sinn ‚technische’ Weise abzugrenzen und ihn damit kalkülmäßig zu beherrschen, ist aus präzise angebaren Gründe zum Scheitern verurteilt, und es ist sprachphilosophisch höchst aufschlussreich und für die Geisteswissenschaften von größtem Belang, diese Gründe im einzelnen zu studieren.

In seinem Buch „Phantasie und Kalkül“ versucht H. J. Schneider, dem Wesen und der Funktionsweise der Sprache auf den Grund zu gehen. Er beginnt mit einer Kritik der Auffassungen Chomskys, Searles und Freges, um sich dann intensiv mit den Ideen des späten Wittgensteins auseinanderzusetzen. Schneider vertritt die Position, dass Sprache nicht primär als (womöglich gar angeborenes) Regelsystem im Kopf zu erklären ist, sondern vielmehr eine Form des praktischen Könnens ist, die aller Regelhaftigkeit voraus ist.

Dennoch leugnet er nicht die Existenz sprachlicher Regeln. So kommt er zu der Polarität der Sprache: Auf der einen Seite der spontane, phantasievolle, vorwärtsorientierte Aspekt des sprachlichen (unregelmäßigen) Könnens/ Handelns, auf der anderen Seite das strukturierte, theoretische Kalkül von explizierten Regeln. Doch diese Perspektiven widersprechen sich nicht, im Gegenteil. Nach Schneider kann nur ein Sprachverständnis, dass sowohl phantasievolles Handeln als auch strukturiertes Kalkül beinhaltet, dem Wesen der Sprache nahe kommen. 

Wenn wir vom Fuß des Berges, vom Bein des Tisches, vom roten Faden im Referat, von warmem Blau und kaltem Gelb sprechen, so haben wir Worte aus bekannten Bedeutungsbereichen (z.B. dem menschlichen Körper) in einem kreativen Akt auf neue Bereiche übertragen, ohne dass es dafür Regeln gibt. Bürgern sich solche neuen Verwendungen alter Wörter ein, so werden sie als Regeln gespeichert; ihre übertragene Bedeutung wird nicht mehr wahrgenommen. Ständig erfinden wir neue unregelmäßige Ausdrücke, und wenn wir sie häufiger verwenden, werden sie allgemeingültig: unkaputtbar, ich habe fertig, da werden sie geholfen, ich will dir fressen! etc. Aber immer ist die Phantasie dem Kalkül voraus.“

[Über H.J. Schneider: Phantasie und Kalkül. Über die Polarität von Handlung und Struktur in der Sprache. Frankfurt a. M.: Suhrkamp, 1992]

Kalkül =      System von Zeichen und Regeln (als Handlungsvorschrift) für das Operieren mit diesen Zeichen.

Kalkül [lat. calculus ‘(Rechen-)Steinchen’].

Deduktives System von Grundzeichen und Handlungsvorschriften (Regeln), das eine kontrollierte, widerspruchsfreie mechanische Durchführung von mathematischen oder logischen Operationen gewährleistet. Solche Grundzeichen können Buchstaben, natürliche Zahlen, Wörter, Logische Partikeln, Wahrheitswerte u.a. sein; Handlungsvorschriften sind z.B. Rechenoperationen wie Muktiplizieren, Addieren, syntaktische Regeln, logische Verknüpfungsregeln.

Der Kalkül-Begriff spielt bei der Formalisierung von grammatischen Theorien über natürliche Sprachen eine grundlegende Rolle, insofern die Modelle generativer Sprachbeschreibungen als K. konstruiert sind (bzw. als Algorithmus, wenn statt Regeln Befehle operieren). Eine generative Grammatik (wie z.B. die Transformationsgrammatik) enthält eine endliche Menge von Objekten (alle Wörter einer Sprache) und von Regeln (Konstituentenstrukturregeln, Transformations-Regeln, Rekursive Regeln), mittels deren eine unendliche Menge von Sätzen erzeugt werden kann.

Die einem Kalkül zugrunde liegende Sprache heißt »Kalkülsprache« (auch: Formale/Künstliche Sprache), z.B. ist die Sprache der Formalen Logik in diesem Sinne eine Kalkül-Sprache.“ [Bußmann, H., S. 364f.]

Kalkül

Kalkül ist ein Verfahren (Vorschrift) zur Herstellung von sprachlichen Figuren, das (die) nur mit semantischen Regeln arbeitet.

Ein Kalkül1 (formales System, deduktives System, formale Theorie) wird angegeben durch

1.         eine Sprache: Menge von sprachlichen Ausdrücken,

2.        einen Herleitungsbegriff, der sich auf die Ausdrücke dieser Sprache bezieht.

Die Sprache wird angegeben durch

1.1     eine Liste von Grundzeichen (Alphabet),

1.2    eine Liste von Regeln, nach denen aus den Grundzeichen-Reihen bestimmte Ausdrücke als sprachliche Ausdrücke des Kalküls gewählt werden.

Die Herleitung wird angegeben durch

2.1    eine Liste von Grundfiguren, die aus der Menge der sprachlichen Ausdrücke ausgewählt werden und mit denen die Herleitungsoperationen jederzeit ihren Anfang nehmen können,

2.2   eine Liste von Grundregeln, die in beliebiger Reihenfolge und beliebig oft angewendet werden können, um von schon hergestellten Figuren zu weiteren überzugehen.

Ein Kalkül kann ganz beliebig gewählt werden. Ein Beispiel ist der folgende Spielkalkül:

1.1     Grundzeichen seien + und ¡

1.2    alle Grundzeichen-Reihen seien sprachliche Ausdrücke

2.1    Grundfiguren seien +

2.2    Grundregeln seien (R1) x ð ¡x und (R2) x ð + x +

Hierbei sei x eine Variable für einen beliebigen sprachlichen Ausdruck des Kalküls. Das Zeichen ð bedeutet, dass es gestattet ist, von einer Figur, die links von ð steht, eine Figur der Form wie sie rechts von ð steht, herzuleiten. Ein Beispiel für eine Herleitung nach diesem Kalkül ist das folgende:

1. +

Grundfigur

2. ¡ +

(R1) angewandt auf 1.

3. + ¡ + +

(R2) angewandt auf 2.

Dieser Kalkül erinnert an das Herstellen bestimmter Figuren aus Bausteinen nach gewissen Vorschriften. Er verweist zugleich auf die Herkunft des Namens „Kalkül“. Dieser Name stammt von den calculi (Kalksteinchen), mit denen die Römer zu rechnen (calculare) pflegten.

Der Begriff Kalkül wird jedoch hauptsächtlich auf logische und mathematische Systeme angewandt. In der (ð) Aussagen- und (ð) Prädikatenlogik besteht ein Kalkül2 aus

1.1         Alphabet (Zeichen verschiedener Arten)

1.2         Regeln, die die wohlgeformten Formeln definieren

2.1         Grundformen oder Axiomen

2.2        Grundschlussregeln: Die Formeln links von ® heißen Prämissen, die rechts von ð Konklusion.

Der Aufbau eines Kalküls ist rein syntaktisch. Die Allgemeingültigkeit von Formeln wird in der (ð) Semantik definiert. Ein Kalkül, in dem alle herleitbaren Formeln allgemeingültig sind, heißt korrekt. Ein Kalkül, in dem alle allgemeingültigen Formeln herleitbar sind, heißt vollständig.

Häufig wird auch ein Algorithmus als Kalkül3 bezeichnet. Dieser liefert die (ð) Entscheidbarkeit für einen Kalkül.“ 

[Speck, J. (Hrsg.): Handbuch wissenschaftstheoretischer Begriff, Göttingen: UTB 967, Band 2, S. 317-318]

"cálculo.

(Del lat. calcŭlus).

1. Cómputo, cuenta o investigación que se hace de algo por medio de operaciones matemáticas.

2. conjetura.

3. Concreción anormal que se forma en la vejiga de la orina y también en la de la bilis, en los riñones y en las glándulas salivales, y cuya expulsión ocasiona accesos de cólicos nefríticos o hepáticos, según los casos.

cálculo algebraico.

Mat. El que se hace con letras que representan las cantidades, aunque también se empleen algunos números.

cálculo aritmético.

Mat. El que se hace con números exclusivamente y algunos signos convencionales.

cálculo diferencial.

Mat. Parte de las matemáticas que opera con las diferencias infinitamente pequeñas de las cantidades variables.

cálculo infinitesimal.

Mat. Conjunto de los cálculos diferencial e integral.

cálculo integral.

Mat. Parte de las matemáticas que trata de obtener una función a partir de su derivada.

cálculo proposicional.

Parte de la lógica formal que estudia las estructuras deductivas de las implicaciones lógicas y sus relaciones axiomáticas.

cálculo prudencial.

El que se hace a bulto, con aproximación y sin buscar la exactitud." [DRAE]