FORMALE SYSTEME

Sistemas formales

(Recop.) Justo Fernández López

 

Siehe auch:

 LOGIK

KALKÜL

FORMALE LOGIK

Formales System: In der Logik und Mathematik Bezeichnung für eine Menge von Axiomen und/oder Schlussfolgerungsregeln, die in einer formalisierten Sprache zum Ausdruck gebracht werden.“

[Hügli, A. / Lübcke, P. (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 190]

Satz, Axiome, Regeln

Solche durch Regeln herstellbare Kennten nenn man Sätze. Der Ausdruck «Satz» hat natürlich im mathematischen Sprachgebrauch eine Bedeutung, die ganz anders ist als die unsrige. Er bedeutet eine Aussage in gewöhnlicher Sprache, die durch rigorose Beweisführung als wahr erkannt worden ist, wie Zenos Satz von der «Unexistenz» der Bewegung oder Euklids Satz von der Unendlichkeit der Primzahlen. In einem formalen System aber brauch man Sätze nicht als Aussagen zu betrachten – sie sind lediglich Symbolketten. Und sie werden nicht bewiesen, sondern einfach wie von einer Maschine nach gewissen typographischen Regeln erzeugt. Um diese wichtige Unterscheidung in der Bedeutung des Wortes «Satz» zu betonen, gehe ich in diesem Buch wie folgt vor: wenn «Satz» in normalen Buchstaben wiedergegeben wird, hat das Wort seine alltägliche Bedeutung – ein Satz ist eine Aussage in der gewöhnlichen Sprache, die jemand einmal durch logische Argumentation als wahr bewiesen hat. Wenn in Großbuchstaben, soll «SATZ» seine technische Bedeutung haben: eine in einem formalen System erzeugbaren Kette. [...]

Ich gab Ihnen einen SATZ zu Beginn vor, nämlich MI. Ein solcher SATZ, den man «umsonst» erhält, heißt Axiom – und wiederum ist die technische Bedeutung von der gängigen völlig verschieden. Ein formales System kann kein, ein, mehrere, ja sogar unendlich viele Axiome besitzen.

Jedes formale System hat Regeln für das Rangieren von Symbolen wie etwa die vier Regeln des MIU-Systems. Diese Regeln nennt man entweder Erzeugungs-Regeln oder Schluss-Regeln. Ich werde beide Ausdrücke benützen.

Der letzte Begriff, den ich hier einführen will, ist der der Ableitung. Ich gebe hier eine Ableitung des SATZES MUIIO:

 

1) MI

Axiom

2) MII

aus 1) durch Regel II

3) MIIII

aus 2) durch Regel II

4) MIIIIU

aus 3) durch Regel I

5) MUIU

aus 4) durch Regel III

6) MUIUUIU

aus 5) durch Regel II

7) MUIIU

aus 6) durch Regel IV

 

Einen SATZ ableiten bedeutet, explizit schrittweise zu zeigen, wie man den SATZ nach den Regeln des formalen Systems erzeugen kann. Der Begriff der Ableitung ist dem des Beweises nachgebildet, aber eine Ableitung ist eine strengere Verwandte des Beweises. Es würde seltsam klingen, zu sagen, dass man MUIIU bewiesen hat, aber es kingt weniger seltsam, zu sagen, dass man MUIIU abgeleitet hat.”

[Hofstadter, Douglas R.: Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band. Stuttgart: Klett-Cotta, 1986,  S. 39‑40]