AXIOM

Axioma

(Recop.) Justo Fernández López

 

Vgl.:

Kalkül / Formale Systeme / Formale Logik / Formalismus / Mathematik

 

Satz, Axiome, Regeln

Solche durch Regeln herstellbare Kennten nenn man Sätze. Der Ausdruck «Satz» hat natürlich im mathematischen Sprachgebrauch eine Bedeutung, die ganz anders ist als die unsrige. Er bedeutet eine Aussage in gewöhnlicher Sprache, die durch rigorose Beweisführung als wahr erkannt worden ist, wie Zenos Satz von der «Unexistenz» der Bewegung oder Euklids Satz von der Unendlichkeit der Primzahlen. In einem formalen System aber brauch man Sätze nicht als Aussagen zu betrachten – sie sind lediglich Symbolketten. Und sie werden nicht bewiesen, sondern einfach wie von einer Maschine nach gewissen typographischen Regeln erzeugt. Um diese wichtige Unterscheidung in der Bedeutung des Wortes «Satz» zu betonen, gehe ich in diesem Buch wie folgt vor: wenn «Satz» in normalen Buchstaben wiedergegeben wird, hat das Wort seine alltägliche Bedeutung – ein Satz ist eine Aussage in der gewöhnlichen Sprache, die jemand einmal durch logische Argumentation als wahr bewiesen hat. Wenn in Großbuchstaben, soll «SATZ» seine technische Bedeutung haben: eine in einem formalen System erzeugbaren Kette. [...]

Ich gab Ihnen einen SATZ zu Beginn vor, nämlich MI. Ein solcher SATZ, den man «umsonst» erhält, heißt Axiom – und wiederum ist die technische Bedeutung von der gängigen völlig verschieden. Ein formales System kann kein, ein, mehrere, ja sogar unendlich viele Axiome besitzen.

Jedes formale System hat Regeln für das Rangieren von Symbolen wie etwa die vier Regeln des MIU-Systems. Diese Regeln nennt man entweder Erzeugungs-Regeln oder Schluss-Regeln. Ich werde beide Ausdrücke benützen.

Der letzte Begriff, den ich hier einführen will, ist der der Ableitung. Ich gebe hier eine Ableitung des SATZES MUIIO:

 

1) MI

Axiom

2) MII

aus 1) durch Regel II

3) MIIII

aus 2) durch Regel II

4) MIIIIU

aus 3) durch Regel I

5) MUIU

aus 4) durch Regel III

6) MUIUUIU

aus 5) durch Regel II

7) MUIIU

aus 6) durch Regel IV

 

Einen SATZ ableiten bedeutet, explizit schrittweise zu zeigen, wie man den SATZ nach den Regeln des formalen Systems erzeugen kann. Der Begriff der Ableitung ist dem des Beweises nachgebildet, aber eine Ableitung ist eine strengere Verwandte des Beweises. Es würde seltsam klingen, zu sagen, dass man MUIIU bewiesen hat, aber es klingt weniger seltsam, zu sagen, dass man MUIIU abgeleitet hat.”

[Hofstadter, Douglas R.: Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band. Stuttgart: Klett-Cotta, 1986,  S. 39‑40]

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“El célebre teorema de Gödel demostró que en la matemática con un cuerpo finito de axiomas jamás podremos demostrar que sus conclusiones no serán contradictorias. Se dirá que esta demostración es rigurosa y, por tanto basada en el principio de contradicción; pero es un principio de contradicción que se refiere al légein, es decir, a la mente que lo demuestra. Desde el punto de vista objetivo, no hay posibilidad de demostrar la no-contradicción de un cuerpo finito de axiomas. De ahí que la compatibilidad no se funda en la contradicción, sino que, al revés, es la no-contradicción la que se funda en la compatibilidad.“

[Zubiri, Xavier: Los problemas fundamentales de la metafísica occidental. Madrid: Alianza Editorial, 1994, p. 160]

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Axioma

En la investigación lingüística, y en la científica en general, los ‘axiomas’ son proposiciones referidas a principios o generalizaciones sobre los que no hay polémicas o controversia, es decir, son universalmente aceptados por anticipado (hasta que son refutados) porque son evidentes o porque parecen razonables a los demás, y sirven de base para el desarrollo de la teorización, el cual se lleva a cabo por medio de los teoremas. De un ‘axioma’ lo que interesa es su rentabilidad o fecundidad, es decir, la facultad que tenga para ser punto de arranque de muchas deducciones. Por ejemplo, para explicar lo que en semántica se llama referencia, es decir, la alusión al mundo que realizamos cuando hablamos de algo, Searle ha propuesto el siguiente axioma: «Todas las cosas a las que hacemos referencia deben existir», ‘axioma’ que en principio es plausible. Así, Sherlock Holmes existe en el mundo de la ficción; pero este último ‘axioma’, que parece razonable, no es aceptado por todos; Ziff lo rechaza por innecesario, afirmando, en cambio, que tenemos capacidad para referirnos tanto a lo que existe como a lo que no existe, ‘axioma’ que parece más realista y rentable (Adams, 1985: 3-4). Los ‘axiomas’ se interrelacionan por medio de los teoremas y, de esta forma, los axiomas forman parte de una red jerarquizada de interrelaciones. No obstante, hay que tener en cuenta que hoy se ha llegado a poner en duda la existencia de los axiomas, tanto en el ámbito de la física (Heisenberg), de la filosofía (Nietzsche, Heidegger, Whitehead), de la crítica (Derrida, de Man) o de la filosofía del lenguaje (Wittgenstein, 1979: On Certainly).”

[Alcaraz Varó, Enrique / Martínez Linares, María Antonia: Diccionario de lingüística moderna. Barcelona: Editorial Ariel, 1997, p. 79]